《非凸Hamilton系統的Aubry-Mather理論》是依託南京大學，由崔小軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：非凸Hamilton系統的Aubry-Mather理論
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：崔小軍
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目將利用辛拓撲領域中的辛齊次化理論來研究非凸Hamilton的動力學, 為建立非凸Hamilton系統的Aubry-Mather理論奠定初步的基礎. 具體來講, 我們將在非凸Hamilton系統中構建合適的變分原理, 證明Aubry-Mather集類型的不變集的存在性, 並構造這些不變集之間的連線軌道; 我們將研究非凸Hamilton系統的Hamilton-Jacobi方程的粘性解, 極小極大解和Hamilton系統的動力學之間的聯繫.
結題摘要
Aubry－Mather理論在正定Lagrange系統（等價地，非凸Hamilton系統）的研究中顯示了巨大的威力。廣義相對論的物理背景和Lorentz幾何的幾何背景告訴我們，凸Hamilton系統具有一定的局限性。近來，有些數學家開始把Aubry－Mather理論往非凸的Hamilton系統中推廣。沿此方向，主要有兩類工具：拓撲方法和幾何方法。我們本項目一方面對正定系統中的Aubry－Mather理論進行進行了深入挖掘，另一方面結合拓撲方法和幾何方法對非凸系統展開了研究。具體來講，我們取得了一些基本的結果： 1.發現了可換 Tonelli Hamilton系統的Aubry－Mather理論。 2.對非緊完備Rieman流形上的eikonal方程的整體粘性解的結構進行了刻畫。 3.證明了宇宙函式的負值是粘性解，並具有weak KAM性質。 4.在二維時空上，建立了完整的weak KAM理論。 5.研究了高維閉的distribution current的結構。 這些結果對我們加深理解正定Lagrange系統的Aubry－Mather理論及其在幾何測度論中的套用起著重要作用，也對非凸Hamilton系統的Aubry－Mather理論的初步建立起著基礎性作用。
