《弱KAM理論與Mather理論的套用研究》是依託上海大學，由李新祥擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：弱KAM理論與Mather理論的套用研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李新祥
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
Mather理論的一個重要假設是Hamilton方程對時間的周期性.弱KAM理論也只是對周期Hamilton系統才有類似的結果。本項目計畫從引入Lax-Oleinik半群這一核心概念入手，對控制、最最佳化等領域中非常重要的擬周期Hamilton系統建立類似的弱KAM理論。擬周期系統也是從周期系統的弱KAM理論到非周期系統弱KAM理論的重要基礎。.弱KAM理論是溝通Mather理論與Hamilton-Jacobi方程粘性解理論的橋樑。三者雖然所套用的方法不同，但有許多一致的結論，三者之間存在有重要的內在聯繫。本課題計畫結合Mather理論的變分法及粘性解理論的PDE方法，研究半群收斂速度與極小不變集上軌道的動力學性質之間的內在聯繫，以及半群收斂速度與粘性解對平均作用量的Holder指數間的數量關係。
結題摘要
Mather 理論與弱KAM理論的一個重要假設是 Hamilton 函式對時間的周期性. 這一要求並不自然, 很多物理和控制領域中的問題不滿足這一要求. 本項目從引入 Lax-Oleinik 半群這一核心概念入手，對控制、最最佳化等領域中非常重要的擬周期 Hamilton 系統弱KAM解的長時間性質做了研究。研究取得了很好的成果, 結果不但對逆周期系統成立, 而且對非周期Hamiltonian也都成立. 對時間非周期的Hamilton系統, 我們定義了一個新的範數, 證明了粘性解在這一新的範數下一致收斂, 並且其相圖也有相應的收斂性. 這一結果與自治的情況一樣好. 除此之外, 我們還研究了Hamilton系統的周期解及其穩定性問題, 找到了一些穩定周期解和一些不穩定周期解.
