《關於Hessian型幾何非線性方程的研究》是依託上海交通大學，由來米加擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：關於Hessian型幾何非線性方程的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：來米加
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目圍繞Hessian型幾何非線性方程展開研究。主要分為兩個部分：第一部分是在申請人博士工作的基礎上，繼續深入研究Kahler流形上Inverse sigma_k flow長時間漸進行為以及相關的Inverse sigma_k方程，Kahler錐等問題。第二部分是研究共形幾何中的Hessian方程，並由此得到一些具積分曲率條件的球定理，更進一步地還要探究這類方程在Q-曲率，k-positive Ricci曲率問題上的套用。
結題摘要
本項目主要圍繞流形上若干非線性方程的研究，及其幾何套用。項目重點關注了球面上帶錐點度量的若干問題。帶錐度量是近幾年幾何分析領域裡的熱點問題，她是著名的丘-田-唐納森猜測的解決里的核心概念。曲面的帶錐點度量可以認為是這個概念的復一維情形，處於共形幾何和復幾何的交叉點。 在本項目中，我們探究了帶錐點球面上的單值化定理。首先，在具有正常數曲率度量的帶錐點球面的模空間裡，我們刻畫了錐點個數從n個點過度到2個點的極限行為。這為後續的工作提供了一些分析基礎。其次，已知帶錐點球面並不總是具有正常數曲率度量的，這對應於多個點臨界以及上臨界情形。在這兩種情況下，我們找到了最拼擠度量。所謂最拼擠，就是曲率的最小值和最大值之比儘可能接近1。此外，我們還計算了帶錐點球面的最小體積。 本項目還得到了共形緊愛因斯坦流形上的一類不等式。這個不等式聯繫了共形無窮遠邊界Yamabe 常數和共形緊化之後的帶邊流形的Yamabe常數。 一個特別有趣的套用是共形緊愛因斯坦流形剛性的一個簡單證明。
