《完備仿射超曲面及其在四階偏微分方程中的套用》是依託河南師範大學，由許瑞偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：完備仿射超曲面及其在四階偏微分方程中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：許瑞偉
- 依託單位：河南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
完備仿射超曲面是整體微分幾何尤其是仿射微分幾何的重要組成部分，涉及很多深刻的高階非線性偏微分方程問題，歷來受到幾何學家與偏微分方程學家的關注。由於此類方程的研究難度大，目前理論還很不成熟，所以急需發展新的理論和方法。本項目擬在項目組前期工作的基礎上，利用仿射幾何的方法和觀點研究高階非線性PDE及Monge-Ampère型方程。具體研究內容：1．仿射極值超曲面的Bernstein問題；2. Lagrange平均曲率流的Bernstein問題；3．極值度量例子以及穩定性；4.高維Abreu方程的內估計。附帶地我們會將研究的手段和方法用於解決仿射流形、復幾何等領域中的類似問題。以上這些問題都可以化成高階非線性PDE及Monge-Ampère型方程的研究。本項目旨在對上述研究取得實質性進展的同時，發展一些新的內估計方法和技巧，以便豐富和發展仿射微分幾何、Monge-Ampère方程理論。
結題摘要
完備仿射超曲面是整體微分幾何尤其是仿射微分幾何的重要組成部分，涉及很多深刻的高階非線性偏微分方程問題，歷來受到幾何學家與偏微分方程學家的關注。本項目利用仿射幾何的方法研究高階非線性PDE及Monge-Ampère 型方程。按照研究內容、計畫我們已完成本項目預定的目標和任務。取得的進展如下：1．我們利用仿射blow-up分析的方法解決了當alpha 的絕對值較大時alpha相對極值超曲面關於alpha度量完備時的Bernstein問題。2.我們觀察到Lagrangian子流形從偽歐氏空間誘導的度量正好是它作為仿射空間中超曲面在典型Calabi法化下的相對度量。利用這個事實及仿射技巧，我們解決了偽歐氏空間中Lagrangian平均曲率流的translating soliton關於誘導度量完備的Bernstein問題。另外，我們在假定凸函式的hessian矩陣decay的條件下證明了偽歐氏空間中Lagrange平均曲率流的entire translating soliton的剛性定理。3．對於toric varieties證明了一致的K穩定是極值度量存在的必要條件。4.假定Abreu方程解具有C0估計，證明了任意維數的Abreu方程解的內部正則性。解決了Abreu 方程的具有退化邊界的Dirichlet 問題，並利用解給出了復torus上面常數量曲率的Kahler度量的存在性。在假定一致K穩定的條件下研究了n維多面體上的Abreu方程，並給出了任意維數的Abreu方程解的內部估計。
