《Monge-Ampère 方程數值算法的研究》是依託蘭州大學，由張婷擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Monge-Ampère 方程數值算法的研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：張婷
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Monge-Ampère方程是一類典型的完全非線性偏微分方程，它們來源於最優傳輸、反射天線和共形幾何等。從計算數學的角度來看，由於Monge-Ampère方程的完全非線性，人們熟知的有限元法、有限差分法和變分極小法等不能直接適用於求解該類方程，往往需要加入新的限制。為克服上述困難，本項目將設計新的數值算法來處理這類方程，主要包含以下三部分內容：（1）基於有限差分法，構造穩定收斂的數值格式來逼近Monge-Ampère方程的測度解；（2）分別採用內懲有限元法、內懲間斷有限元法來數值模擬Hessian方程，並推導相應的誤差估計；（3）探討拋物型Monge-Ampère方程的數值算法。本項目不僅豐富和完善了完全非線性方程數值解的相關算法，還可以促進這些方程理論方面的研究。
結題摘要
經典幾何和凸體幾何中很多重要問題的研究往往導致完全非線性方程的出現，而Monge-Ampère型方程是一類最重要的完全非線性幾何偏微分方程。本項目主要探討了這類方程的數值算法。 研究Monge-Ampère型方程數值解，關鍵要保持解的凸性，且由於該方程的完全非線性，熟知的有限元法、有限差分法等不能直接適用於求解該方程。 本項目克服了上述困難，主要解決了如下三個問題：（1）通過選初值，確定疊代步長，作局部凸包等步驟，就Monge-Ampère方程的測度解提出了穩定、收斂的數值算法；(2) 將Hessian方程線性化，構造了內懲有限元數值格式來間接求解該完全非線性方程，並給出了收斂階；（3）將時間離散化，利用歐拉向後格式來數值模擬拋物型Monge-Ampère方程。數值試驗結果表明我們的算法是有效的。唯一不完善的是，我們沒有給出Monge-Ampère方程測度解相關算法的誤差分析。希望發展和完善完全非線性方程的數值理論，同時為這類方程在理論方面的研究提供新的技術和看法。
