調和分析及其套用

《調和分析及其套用》是依託北京師範大學，由丁勇擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：調和分析及其套用
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：丁勇
• 項目類別：重點項目

項目摘要

調和分析是現代數學的重要組成部分，調和分析的思想與方法已成為偏微分方程等數學領域中重要的工具。本項目組將在已有的調和分析理論及其在偏微分方程中的套用的基礎上，擬深入研究積分核的低正則性下拋物型和變數核的奇異積分運算元有界性；建立在多參數結構下積分核低正則性的奇異積分運算元及帶旗核的奇異積分運算元的實變理論；給出在低正則性下積分運算元交換子有界性和緊性的特徵刻畫；發展一套高維Hardy運算元及一類振盪積分運算元的實變理論；建立超奇異雙Hilbert變換及正規李群上奇異積分運算元的有界性；研究多線性運算元的各類有界性問題。套用調和分析的理論和方法研究非線性色散方程的適定性、散射理論及低正則性問題與流體動力學方程的數學理論，建立Quaternionic Heisenberg群上相關於波方程的廣義Strichartz不等式，並研究調和映照熱流弱解的正則性。

結題摘要

項目組深入研究了各類粗糙核積分運算元（沿子流形的粗糙奇異積分運算元、Littlewood-Paley運算元、振盪積分、Carleson 型極大運算元等）的有界性及加權有界性問題，其中一些結果改進了E.M.Stein的工作；系統研究了低正則性積分核的奇異積分運算元（拋物型奇異積分、變數核奇異積分、超奇異積分等）交換子在幾類函式空間上的有界性和緊性特徵，本質改進並推廣了Calderon的結果；建立了高維Hardy運算元（及Hausdorff運算元）的實變理論並將Christ-Grafakos關於Hardy運算元不等式的最佳常數推進到加權情形；得到了高維超奇異雙Hilbert變換的有界性；給出了多線性積分運算元及其交換子的有界性。作為調和分析理論和方法的套用，首次建立了相關於一般可測復係數的高階齊次橢圓運算元的Riesz變換和Hardy空間理論；研究了幾類非線性色散方程和帶高頻振盪初值可壓 Navier-Stokes方程的適定性，改進了Danchin的結果；系統研究了四元數Heisenberg群上的調和分析問題並建立了關於波方程的廣義Strichartz不等式；給出了緊Riemannian流形上熱流方程強解的衰減估計。