《調和分析在薛丁格運算元色散估計與譜研究中的套用》是依託華中師範大學，由堯小華擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：調和分析在薛丁格運算元色散估計與譜研究中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：堯小華
- 依託單位：華中師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
現代調和分析一直是數學研究的核心領域之一，與多復變分析、偏微分運算元、數學物理以及對稱空間等學科領域有著十分廣泛密切的聯繫；利用調和分析方法，近年來申請者已在色散方程、薛丁格運算元半群與譜等論題取得了一些好的創新成果，並在 J. Funct. Anal.，Comm. PDEs等多個國際數學刊物上發表。 本項目申請者將繼續研究調和分析與數學物理交叉領域若干重要主題，其中包括帶位勢的薛丁格運算元群的色散估計，預解式運算元的一致Lp-Lq 估計與譜分析等內容。在項目具體研究中，我們需要廣泛使用調和分析方法、譜理論以及數論等重要工具，如需要振盪積分理論和插值定理來研究薛丁格型方程的色散估計，也需要充分利用譜Weyl 分布漸進結果及區域上格點計數數論方法來研究流形上問題等。所得結果將能套用於非線性色散方程的適定性、譜乘子有界性及唯一連續性等論題。
結題摘要
現代調和分析是數學研究的核心學科之一，其不僅有豐富的理論知識,而且有著廣泛的套用。近四年來，主持人致力於調和分析與微分運算元交叉學科的重要論題的研究，取得了一系列重要的研究成果，已發表學術論文13篇（其中12篇SCIE/SSCI），發表雜誌主要包括Comm .Math .Phys., Int.Math. Res.Not.（IMRN）, J.Funct.Anal.等國際重要數學期刊。主要業績有:(1)與J.Bourgain教授等合作，在緊流形上得到了Laplace-Beltrami運算元最佳的一致Sobolev估計，回答了C.Kenig等人公開提出的問題;(2)建立了高階微分運算元的熱核估計並研究與之相關的函式空間與奇異積分運算元理論，推廣了經典調和分析若干重要結果;(3)深入研究了薛丁格方程解的Lp-Lq估計和Strichartz估計，並套用於非線性薛丁格方程解的適定性和散射問題研究。
