《數值調和分析方法在一類傳輸占優型問題中的套用》是依託中央財經大學，由黃春妍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：數值調和分析方法在一類傳輸占優型問題中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃春妍
- 依託單位：中央財經大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的主要目標是對一類傳輸占優型問題，如有界區域上的線性傳輸方程以及依賴參數的傳輸問題如輻射傳輸模型, 設計相應的自適應算法並從理論上證明誤差縮減。 傳輸占優型問題的解常常表現出各向異性的特徵，比如剪下層，邊界層，激波前沿等物理現象。 為了有效和經濟地解決解的各向異性結構，想法是使用新設計的方向表示系統如Shearlet框架，即試探空間是由Shearlets張成的。 由於目前人們只在L2上構造出物理空間有緊支集的Shearlet框架， 因此需要開發適用於Shearlets的L2穩定的變分公式。 基於此公式設計自適應的數值疊代格式，從理論上嚴格證明疊代格式具有最優的收斂速度， 同時給出實驗的驗證。 依賴參數的傳輸問題是一類高維問題，用經典的方法進行數值離散會面臨維數的災難。 將推廣線性傳輸方程的變分公式到高維參數問題，結合稀疏張量積方法或最優張量積方法以解決維數的災難。
結題摘要
本項目的主要目標是套用調和分析中的方法和想法研究一類偏微分方程的數值方法和理論性質。 很多起源於物理領域的重要數學問題都帶有各向異性特徵，如奇性集中在低維嵌入流形上。 雙曲守恆律方程的解或更一般的傳輸型方程的解所顯示的激波等就是非常強的各向異性現象。當空間維數越高時，如何有效捕捉和稀疏表示這種各向異性結構就變得越重要，也越具有挑戰性。 探索能夠嚴格證明誤差縮減的傳輸型方程的自適應數值格式的主要困難在於：(1)這類問題缺少合適的穩定的變分公式；(2)這類問題的解常表現出各向異性的特徵，如何經濟可靠地解決解的各向異性行為是另一大困難。 本項目嘗試套用數值調和分析工具-方向表示系統-來處理偏微分方程的解所表現的各向異性的結構。 特別地，本項目研究了傳輸型偏微分方程如一階線性傳輸方程、依賴參數的傳輸問題，如輻射傳輸模型, 以及更一般的偏微分方程如Navier-Stokes方程等的理論性質。 數值離散這類依賴參數的問題面臨較大挑戰，因為要模擬的解存在於高維相空間上, 使用經典方法無法有效解決這類問題。此外，已知的大多數用以解決這類高維問題的變分公式都有嚴格的正則性要求，若依賴這類變分公式則無法套用方向表示系統離散， 因為它們只是L2的框架。 本項目的主要結果：從一階線性傳輸方程出發，以套用方向表示系統離散試探空間為中心目標，找到適合套用該系統的傳輸問題的變分公式並將其推廣到依賴參數的傳輸問題。該變分公式不僅適用於傳統的有限元離散方法，而且適用於一般的多水平離散方法，如方向表示系統離散法。 在此變分公式基礎上設計了自適應的數值離散格式，從理論上分析數值格式的收斂性和複雜性。套用縮減基、稀疏張量積等方法研究了輻射傳輸模型的數值解法，進行了數值模擬。套用調和分析中的精細方法，研究了導數Ginzburg-Landau方程的適定性和解的解析性、廣義Klein-Gordon-Schroedinger系統柯西問題的低正則適定性問題以及(廣義)Navier-Stokes方程柯西問題的適定性和解的解析性質。綜上，本項目套用數值調和分析工具--方向表示系統對傳輸型方程的數值模擬進行了一些嘗試, 得到了一些新的結果，為數值離散PDE開拓一個新的研究思路，具有一定的理論意義和套用價值。此外，本項目套用調和分析方法研究了一類偏微分方程的理論性質，完善了偏微分方程的理論。
