《調和分析在非交換遍歷論中的套用》是依託武漢大學，由洪桂祥擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：調和分析在非交換遍歷論中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：洪桂祥
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著量子物理的發展，數學在非交換方向的發展已成為現代數學的重要研究領域。作為非交換分析領域的一個重要研究方向，非交換遍歷論的研究還不廣泛。 本項目的研究目標是沿著經典遍歷論的發展歷史全面展開對非交換遍歷論的研究。本項目包括兩個主要研究方向:. 方向一，群作用下的非交換遍歷定理。具體包括以下五個問題：（1）歐氏群作用下的非交換Wiener和Jones遍歷定理；（2）海森堡群作用下的非交換Nevo-Thangavelu遍歷定理；（3）單李群作用下的非交換Nevo遍歷定理；（4）半單李群作用下的非交換Margulis-Nevo-Stein遍歷定理；（5）順從群作用下的非交換Lindenstrauss遍歷定理。方向二，Bourgain返時定理及其相關理論的非交換類比。具體包括以下兩個問題：（1）沿自然數集中多項式子序列的非交換Birkhoff遍歷定理；（2）Bourgain返時遍歷定理的非交換類比。
結題摘要
隨著量子物理的發展，數學在非交換方向的發展已成為現代數學的重要研究領域。作為非交換分析領域的一個重要研究方向，非交換遍歷論的研究還不廣泛。事實上，非交換極大遍歷定理的現代研究開始於Junge和Xu在2007年發表於J.Amer.Math.Soc上非交換Dunford-Schwartz和Stein極大遍歷定理。之後僅有的一個重大進展是Anantharaman和Hu分別獨立建立的非交換Nevo-Stein極大遍歷不等式，即自由群作用下的遍歷定理。本項目的研究目標是沿著經典遍歷論的發展歷史全面展開對非交換遍歷論的研究。已取得研究成果意義如下。一、建立了歐氏群作用下的非交換Wiener 和Jones 遍歷定理及海森堡群作用下的非交換Nevo-Thangavelu 遍歷定理。這倆結果被認為是群作用下的非交換遍歷理論的開端，將極大啟發人們進一步研究非交換遍歷理論。也就是在這個基礎上，主持人徹底解決了多項式增長群作用下的長達十多年的球平均公開問題。部分成果已發表於期刊Erg. Theory & Dyn. System。二、證明了非交換多參數Wiener-Wintner型遍歷定理。Wiener-Wintner遍歷定理可以看成遍歷理論中的另一個重要研究方向，是非交換Bourgain返時定理及其相關理論進一步發展的基礎，與非交換分析中另一公開問題非交換Carleson極大不等式密切聯繫。這一結果已發表於J. Funct. Anal，也將啟發人們研究一般群作用下的Wiener-Wintner型遍歷定理。三、緊密聯繫於本項目的研究課題，建立了非交換鞅非對稱極大不等式、經典調和分析中的變差不等式與Calderon交換子等，為本項目課題研究的進一步開展提供了很多想法與工具。部分結果已發表於期刊J. Funct. Anal，Math. Z及Anal & PDE等。
