等價範數

等價範數

等價範數(equivalence of norms)是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。有限維空間上的任何兩個範數必是等價的,且具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間在代數上是同構的,在拓撲上是同胚的。Banach空間中的兩範數等價,則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同,特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界,在從一個範數變化到另一個範數時,都是不變的。

基本介紹

  • 中文名:等價範數
  • 外文名:equivalence of norms
  • 本質:同一線性空間上兩範數之間的關係
  • 等價的意義:兩範數等價對應空間拓撲性質相同
  • 重要結論:有限維空間上任何兩個範數必等價
  • 套用學科:泛函分析、計算流體力學
  • 類型:計算流體力學術語
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預備知識

線性空間

設 X 是一個非空集,K 是復(或實)數域,如果滿足條件:
(1)X 是一加法交換群,即對
,記作
稱為
之和,適合
③ 存在唯一的
,對
④ 對任意的
,存在唯一的
,使得
,記作
(2)定義數域 K 中的數
的數乘運算,即
,記作
稱為
的數乘,適合
則稱 X 為一復(或實)線性空間。

線性空間範數

若線性空間 X 上的一個非負值函式
滿足:
(1)正定性:
(2)三角不等式:
(3)齊次性:
則稱
為線性空間 X 上的一個範數。

賦范線性空間

當賦準範數的線性空間中的準範數是範數時,稱該空間為賦范線性空間

相關比較

設線上性空間 X 上給定了兩個範數
,若有
,則稱
強。
為了
強,必須且只需存在常數 C>0 ,使得

定義

在許多分析問題中,引進範數或引進距離是為了研究一種收斂性。因此,如果我們關心的只是按照一定意義的收斂性而不是距離本身的大小,那么在空間上我們就可以認為決定同一收斂性的不同範數是等價的。等價範數是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。

數學表示

設線上性空間 X 上給定了兩個範數
,如果
強,並且
強,則稱
等價。

等價的意義

Banach空間中的兩範數等價,則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同,特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界,在從一個範數變化到另一個範數時,都是不變的。
因此,與在同一個集合 X 上可以定義不同的距離使 X 成為不同的度量空間一樣,在同一個線性空間 E 上,也可以定義不同的範數,使E構成不同的賦范線性空間

基本結論

結論1

(等價範數定理)
設線上性空間 X 上給定了兩個範數
,若存在兩個常數
,使得
則有兩範數
等價。

結論2

設 X 是一個有窮維線性空間,若
都是 X 上的範數,則必有常數
,使得:
該結論表明:具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間代數上是同構的,在拓撲上是同胚的。

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