商集

商集是集合論的基本概念之一，指由集合和該集合上的等價關係導出的集合。設～是非空集合A的一個等價關係，若把以A關於～的全部等價類作為元素組成一個新的集合B，則把集合B叫做A關於～的商集合，簡稱為商集，記作B=A/～.

基本介紹

• 中文名：商集
• 外文名： quotient set
• 全稱：商集合
• 本質：一個集合
• 套用領域：集合論
• 學科：數學

特點

非空集合S關於它上面的任何等價關係R的商集具有下列特點：

1. S/R ≠ ∅；
   
2. 若A∈S/R，則A ≠ ∅；
   
3. 若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B = ∅.
   

利用選擇公理，在S/R的每個元素A_m中取出一個元素a_m∈A_m，稱為等價類A_m的代表，而{a_m}_m∈M稱為商集的代表集。集S對它上面的不同的等價關係R和G有不同的商集，且滿足：

1.S/R=S/R；

2.S/E={{a}}_a∈S，這裡E是恆等關係；

3.S/(S×S)={S}， 這裡S×S是全域關係；

4.若S/R={A_m}_m∈M，S/G={B_n}_n∈N，則

且

其中某些項可能是空集。

舉例

例1 A={a,b,c,d,e,f}={某大學宿舍的大學生}；R是A上的同鄉關係（不難證明同鄉關係是等價關係），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f南京人，則R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素關於R的等價類分別是：

[a]_R=[b]_R={a,b}；

[c]_R={c}；

[d]_R=[e]_R=[f]_R={d,e,f}；

A關於R的商集A/R={[a]_R,[c]_R,[d]_R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

例2 A={(x，y) |-∞<x<+∞，-∞<y<+∞，xy≠0}是除去坐標軸的平面。可以驗證，～={ [(x1，y₁)，(x₂，y₂)] | x1x2>0，y1y2>0，(x1，y₁)∈A，(x2，y2)∈A}是A的等價關係，A關於～的等價類為A₁= [(1，1)]，A₂= [ (-1，1)]，A₃= [ (-1，-1)]，A₄=[(1，-1)]，顯然A₁，A₂，A₃，A₄就是直角坐標平面上的四個象限(如下圖)。這時A關於～的商集為：A/～= {A₁，A₂，A₃，A₄}.

直角坐標平面

例3 利用由整數系擴充至有理數系的過程理解商集。假定已定義整數集Z，直觀上取a∈Z,b∈Z，則有a/b可定義為有理數。但新定義的數需符合整數的運算性質才可稱為數系的一次擴充。首要問題在於形式上不同的兩個a/b相對於運算可能是相同的，例如2/4=1/2,。一個樸素的處理方式是宣稱分數可以約分，並稱分子分母互質的為最簡分數，滿足最簡分數形式的才是有理數。這一過程的數學處理正是商集的一個例子。

首先考慮集合，其中的元素為二元組(a,b)。定義等價關係~=，易驗證這確實是一個等價關係。此處則有有理數集/~，也即對整數二元組，如果將其中“可約分”的元素視為等價而只去一個代表，則構造出的集合與有理數集Q相同。有理數集Q即為整數二元組集合關於以上等價關係~的商集。

賦范線性空間的商空間

設X是線性空間，Y是X的一個線性子空間。對x∈X，記稱是以x為代表元的等價類，於是得到商集

在中規定

易知這樣的線性運算是一意確定的，於是，按這個線性運算稱為線性空間。在商空間中，X的子空間Y被“縮”為零向量.

例如，在L空間中，記Y為幾乎處處等於零的函式全體，則對f∈L，就是與F幾乎處處相等的函式組成的等價類。

如果X為賦范線性空間，Y是X的線性閉子空間，對規定

容易證明這樣定義的是上的範數，即仍是賦范線性空間，而且，當X是Banach空間時，商空間也是Banach空間。

附錄

[二元關係]設A,B是集合，R是笛卡兒乘積AxB的子集，則稱R是A到B的一個二元關係，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,a),(y,b)}.

[自反的二元關係]如果對於集合A的每一個元素a，都有(a,a)屬於二元關係R，則稱R為自反的二元關係。

[對稱的二元關係]如果每當(a,b)屬於R，就一定有(b,a)屬於R，則稱R是對稱的二元關係。

[傳遞的二元關係]如果每當有(a,b)、(b,c)均屬於R，必有(a,c)屬於R，則稱傳遞的二元關係。

[等價關係]R是A上的[二元關係]，如果R是自反的、對稱的、傳遞的二元關係，則稱R為A上的等價關係。

[等價類]設R是A的等價關係，a是A中的任意元素，由A中的所有與a相關的元素組成的集合，稱為a關於R的等價類。