基本介紹
- 中文名:特殊三角形
- 外文名:Special triangle
- 種類:等腰三角形 直角三角
- 拼音:teshusanjiaoxing
- 套用範圍:幾何證明
- 性質:一般三角形的特殊形式
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直角三角形
英文名:right triangle
1)直角三角形的定義:有一個角為90°的三角形,叫做直角三角形。
直角三角形是一種特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性質外,具有一些特殊的性質。又叫Rt三角形。
2)直角三角形的性質:
(1)直角三角形兩個銳角互余;
(2)直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半;
(3)在直角三角形中,30度角所對的直角邊是斜邊的一半;且三邊比為1比根號3比2;
(4)在直角三角形中,如果有一條直角邊等於斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等於30°;
3)直角三角形的判定:
(1)有一個角為90°的三角形是直角三角形;
(2)一個三角形,如果這個三角形一邊上的中線等於這條邊的一半,那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形;
(3)若a^2+b^2=c^2,則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊直角三角形(勾股定理的逆定理);
(5)兩個銳角互余的三角形是直角三角形.
4)直角三角形角的性質
若直角三角形ABC中∠C=90°,則
sinA=cosB,sinB=cosA,sinA=cos(90°-A)=sin(180°-A)
cosA=sin(90°-A)=-cos(180°-A)
tanA=-tan(180°-A)
對於特殊角30°,45°,60°,15°,75°,90°
sin30°=cos60°=1/2
sin45°=cos45°=√2/2
sin60°=cos30°=√3/2
sin75°=cos15°=(根號6+根號2)/4 cos75°=sin15°=(根號6-根號2)/4
tan75°=2+根號3 tan15°=2-根號3
sin90°=1 cos90°=0 tan90°=無限大
等腰三角形
英文名:isosceles triangle
1)等腰三角形的定義:
有兩邊相等的三角形是等腰三角形
2)等腰三角形的性質:
1.等腰三角形的兩個底角相等。 (簡寫成“等邊對等角”)
2.等腰三角形的頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”)
3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。(兩條腰上的中線相等,兩條腰上的高相等)
4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。
5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半
3).等腰三角形的判定:
有兩條邊相等的三角形是等腰三角形
有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱:等角對等邊)
在一個三角形中,一邊上的高線與此邊上的中線,及此邊對角角平分線中任意兩線重合可推知此三角形為等腰三角形。

等邊三角形
英文名:equilateral triangle
等邊三角形也稱正三角形。
1)等邊三角形的定義:
有三邊都相等的三角形是等邊三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形。
2)等邊三角形的性質:(具有等腰三角形的所有性質,結合定義更特殊)
1等邊三角形的內角都相等,且為60度
(1)三邊相等的三角形是等邊三角形(定義)
(2)三個內角都相等的三角形是等邊三角形 ,且每個角都為60°
(3)有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形
等腰直角三角形
定義
等腰直角三角形是一種特殊的三角形,具有所有三角形的性質:穩定性,兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45,斜邊上中線角平分線垂線 三線合一,等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內切圓的直徑(因為等腰直角三角形的兩個小角均為45度,高又垂直於斜邊,所以兩個小三角形均為等腰直角三角形,則兩腰相等);那么設內切圓的半徑r為1,則外接圓的半徑R就為(根號2加1),所以r:R=1:(根號2加1)。
關係
等腰直角三角形的邊角之間的關係 :
(1)三角形三內角和等於180°;
(3)三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角;
(4)三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊;
(5)在同一個三角形內,大邊對大角,大角對大邊.
(2)三角形的三條中線的交點叫三角形的重心,它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的2倍。
(3)三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
(4)三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。
注意!①三角形的內心、重心都在三角形的內部
.②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。
③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。
黃金三角形
名稱定義
黃金三角形的分類
黃金三角形分兩種: 一種是等腰三角形,兩個底角為72°,頂角為36°;這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比:(√5-1)/2. 另一種也是等腰三角形,兩個底角為36°,頂角為108°;這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比:(√5-1)/2
黃金三角形的特徵
黃金三角形是一個等腰三角形,它的頂角為36°,每個底角為72°.它的腰與它的底成黃金比.當底角被平分時,角平分線分對邊也成黃金比,並形成兩個較小的等腰三角形.這兩三角形之一相似於原三角形,而另一三角形可用於產生螺旋形曲線.
把五個黃金三角形稱為“小三角形”,拼成的相似黃金三角形稱為“大三角形”。則命題可以理解為:五個小三角形能夠不重疊又不超出地充滿大三角形。要滿足這種填充,必要條件之一是大三角形的每條邊都可以由若干條小三角形的邊相加而成。
設小三角形的底為a,則腰為b=(√5+1)a/2,因為大三角形的面積為小三角形的5倍。則大三角形的邊長
為小三角形對應邊長的√5倍,即大三角形的底為A=√5 a,腰為B=√5 *(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。
大三角形的腰B與小三角形邊的關係滿足:
B=2a+b
而大三角形的底A與小三角形邊的關係可列舉如下:
2ab<A<b+a
可見大三角形底邊的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超地來填充(圖1)。故命題錯。
設小三角形的底為a,則腰為b=(√5-1)a/2。
同樣可以證明:
A=2b+a
2b<B<3b
a<B<b+a
可見大三角形腰的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超出地填充(圖2)。故命題錯。
事實上,勾為a,股為b=2a的<a>直角三角形可以滿足命題要求。
顯然,弦c=√a2+b2 =√5 a
大三角形的對應邊:
A=√5 a=c
B=2A=2c
C=√5 *(√5a)=5a=2b+a