三角形三邊關係

三角形三邊關係是三角形三條邊關係的定則，具體內容是在一個三角形中，任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。

基本介紹

• 中文名：三角形三邊關係
• 1：任意兩邊之和大於第三邊
• 2：任意兩邊之差小於第三邊
• 3：三角形的三邊關係

一般

設三角形三邊為a,b,c則

a+b>c,a>c-b

b+c>a,b>a-c

a+c>b,c>b-a

如圖，任意△ABC，求證AB+AC>BC。

證明：在BA的延長線上取AD=AC

則∠D=∠ACD（等邊對等角）

∵∠BCD>∠ACD

∴∠BCD>∠D

∴BD>BC（大角對大邊）

∵BD=AB+AD=AB+AC

∴AB+AC>BC

三角形的關係

一般三角形

設三角形三邊為AC,BC,AB,

點D垂直於AB，為三角形ABC的高

如圖，利用勾股定理，得

AC²-AD²=CD²① CB²-BD²=CD² ②

①=②

AC²-AD² =CB²-BD²

因為 AD+BD=AB
　　

所以 AC²-(AB-BD)²=CB²-BD² ③

同樣也有AC²-AD²=CB²-（AB-AD)² ④

③化簡得：(AB²+CB²-AC²)÷2AB=BD

④化簡得：(AB²-CB²+AC²)÷2AB=AD

特殊

直角三角形

性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。　 性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余。　 性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。

性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等於斜邊與斜邊上高的乘積。　性質5:如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

（1） AD^2=BD·DC，

（2） AB^2=BD·BC ， 射影定理圖

（3） AC^2=CD·BC 。 等積式 　（4）ABXAC=ADXBC (可用面積來證明） 　(5)直角三角形的外接圓的半徑R=1/2BC,

(6)直角三角形的內切圓的半徑r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

等腰直角三角形三邊之比：1:1:根號二