三角比

三角比（trigonometric ratio）是三角學的基本概念之一，指三角函式定義中的兩線段的數量比。 定義銳角三角函式時，是指含此銳角的直角三角形中任意兩邊的比。定義任意角三角函式時，是指角的終邊上任意一點的縱、橫坐標和原點到這點的距離三個數量中任意兩個的比。

基本介紹

• 中文名：三角比
• 外文名：trigonometric ratio
• 別稱：三角學
• 學科：幾何

概述

如果三角形的一個角為90度，而另一個角的度數已知，那么第三個角的度數也就固定下來了，這是因為任何一個三角形三個角的度數之和總是180度。這樣，兩個銳角的度數之和為90度：它們互為餘角。這樣的三角形形狀已經完全確定下來，它們是一組度數相同的相似三角形。在度數確定的情況下，每個邊之間的比例也就隨之確定，無論三角形大小。如果其中一個邊的長度又為已知的話，那么其他兩條邊的長度也就確定。這些比例以角A的三角函式形式表示出來，其中a、b、c分別帶指三角形中對應三邊的長度：

圖1.三角比

（1）正弦函式（sin），定義為該角的對邊（opposite）與斜邊（hypotenuse）的比例。

（2）餘弦函式（cos），定義為該角的鄰邊（adjacent）與斜邊的比例。

（3）正切函式（tan），定義為該角的對邊與鄰邊的比例。

其中，斜邊是指直角三角形中90度角所對的邊；它是該三角形中最長的邊，也是角A的一個鄰邊。對邊是角A所對的一條邊。

這些函式的倒數分別被稱為餘割（csc或cosec）、正割（sec）和餘切（cot）：

它們的反三角函式分別為arcsine、arccosine和arctangent。這些函式之間存在的數學關係被稱為三角恆等式。

通過使用這些函式，可以回答有關任意三角形的所有問題，只需使用正弦定理和餘弦定理。在已知兩條邊長以及它們夾角的度數，或是兩個角的度數以及一條邊長，或是知道三邊長度後，使用這些法則可以計算出其他角和邊。

相關定義及公式

銳角三角比的定義

sinA=角A的對邊/斜邊；

cosA=角A的鄰邊/斜邊；

tanA=角A的對邊/鄰邊；

cotA=角A的鄰邊/對邊。

同角的三角比關係

互為餘角的三角比關係

直角三角形邊、角關係

邊與邊：

角與角：

邊與角：銳角三角比概念；

所以，歷史上三角函式曾有三角比之稱，三角比不只是三角函式，兩者之間還有一定的差別。

誘導公式

公式一

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：

公式二

設 為任意角， 的三角函式值與 的三角函式值之間的關係：

公式三

任意角 與 的三角函式值之間的關係：

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到 與 的三角函式值之間的關係：

公式五

利用公式一和公式三可以得到 與 的三角函式值之間的關係：

誘導公式記憶口訣

上面這些誘導公式可以概括為：

對於 的個三角函式值，

①當 是雙數時，得到 的同名函式值，即函式名不改變；

②當 是單數時，得到 相應的余函式值,（單變雙不變）

然後在前面加上把α看成銳角時原函式值的符號（符號看象限）。

其他三角函式知識

兩角和差公式

積化和差	和差化積

倍角公式

二倍角公式可以利用二角相等時的和角公式求得。

利用和角公式也可以推導三倍角公式、四倍角公式等。

半角公式

半角公式可以利用餘弦函式的二倍角公式求得。

積化和差公式

和差化積公式