外接圓半徑公式

經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，表示三角形外接圓半徑的方法有：1.用三角形的邊和角來表示它的外接圓的半徑；2．用三角形的三邊來表示它的外接圓的半徑；3. 用三角形的三邊和面積表示外接圓半徑的公式等。

基本介紹

• 中文名：外接圓半徑公式
• 所屬學科：數學
• 相關概念：三角函式，三角形的外接圓等
• 所屬問題：幾何學（三角形）

基本介紹

1.用三角形的邊和角來表示它的外接圓的半徑

設在 中，已知一邊和它的對角，那么用已知邊和角來表示它的外接圓的半徑R的公式是

很明顯，這幾個公式可以從正弦定理的推論導出。

2．用三角形的三邊來表示它的外接圓的半徑

設在 中，已知三邊 ，那么，用已知邊表示三角形的外接圓半徑R的公式為：

其中 。

證明：因為

而

就是

所以(由海倫公式)：

3.用三角形的三邊和面積表示外接圓半徑的公式

公式中 是這三角形的三條邊，S為三角形的面積。

內切圓半徑

1．用三角形的三邊來表示它的內切圓的半徑

設在中，已知三邊，那么，用已知邊表示內切圓半徑r的公式是

2．用三角形的邊和角來表示它的內切圓的半徑

設在中，已知三邊和一角，那么，用已知邊和角表示內切圓半徑r的公式是

很明顯，這個公式可以從半角定理導出。

外接圓半徑與內切圓半徑的關係

與三角形三邊的關係

外接圓半徑： ；

內切圓半徑： ，

所以，同個三角形內外接圓半徑定量關係：

即

外接圓半徑與內切圓半徑

若r、R分別是△ABC的內切圓和外接圓半徑，則二者滿足以下關係：

證明:由內切圓、外接圓的半徑公式中消去S得

利用正弦定理，把邊長化為角度得

左邊利用二倍角公式，右邊利用三角形三角函式特殊關係化簡得

整理得