半角定理

半角定理

半角定理指的是已知一個三角形的三個邊長,從而可求出各個角的半角的正切值,並由此可出各個角和此三角形的內切圓半徑的公式。

基本介紹

  • 中文名:半角定理
  • 表達式:r=(s-a)tan(A/2)
  • 套用學科:數學
  • 特點:內切圓
定理定義,驗證推導,

定理定義

三角形
的內切圓,設
為內切圓半徑。
半角定理
(三角形的半周長),則有

驗證推導

證明一:利用餘弦定理證明。
由余弦定理
,得
,那么
因此上面結論可以寫成:
因為
銳角,所以把上面所得到的結果代入半角公式
,又因為
就可以得到
由此便證明了半角定理。
證明二:半角定理還可以運用海倫公式來證明。
一方面,根據海倫公式,
的面積
另一方面,利用內切圓半徑
的面積可表示為
因此內切圓半徑可以表示為
於是我們就得到了

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