基本介紹
- 中文名：解三角形
- 外文名：solving triangle
- 類別：解題方法
- 拼音：jiě sān jiǎo xíng
- 套用範圍：數學、物理
定義,意義,常用定理,正弦定理,變形公式,餘弦定理,變形公式,海倫-秦九韶公式,形狀判斷,解三角形,
定義
一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。
意義
眾所周知，傳統的平面幾何學通常只能討論邊與邊、邊與面積、面積與面積、角與角之間的數量關係，卻無法討論角和邊、角和面積之間的數量關係。如果我們能夠討論角和邊之間的數量關係，然後討論邊與面積之間的數量關係，我們就可以討論角與面積之間的數量關係。對於角和邊之間的定量關係，雖然我們也有諸如“30°的角所對的直角邊為斜邊的一半”這樣的定理，再用勾股定理也可以求出60°的角所對的直角邊為斜邊的（根號3）/2倍，但這些畢竟僅僅是針對“特殊值”的討論，而不是一般性的討論。
由平面幾何知識可知，已知三角形的鄰邊a，b及其夾角C，根據“邊角邊定理”，第三邊c完全確定。從而，我們可以用帶有a，b，C的表達式來表示c，即c=f（a，b，C）。如何給出這個表達式？數學上，通過定義三角函式，進而可以用含有角的表達式來表示邊，解三角形就是求解此類問題的。
解三角形，使許多具體幾何問題的求解得以數量化。只要我們可以用式子表示出三角形邊和角（或者邊和面積）之間的數量關係，然後進行化簡，就可以求解或者證明一些幾何題，從而避免許多繁瑣的輔助線。並且，如何作輔助線並沒有一套通用的法則，需要因題而異。一些輔助線需要很高的洞察力。
三角函式在物理學、工程、技術等領域也有廣泛的套用。直接用含有角度的公式來表示相關的物理參量，通常會很方便，具有較高的可實踐性與可操作性，進而針對許多具體的物理量只需一個公式就可以求解。
常用定理
正弦定理
變形公式
（1）a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
（2）sinA：sinB：sinC=a：b：c
（3）asinB=bsinA，asinC=csinA，bsinC=csinB
（4）sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
面積公式（5）S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC S=1/2底·h（原始公式）
餘弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
b2=a2+c2-2accosB
c2=a2+b2-2abcosC
註：勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況。
變形公式
cosC=(a2+b2-c2)/2ab
cosB=(a2+c2-b2)/2ac
cosA=(c2+b2-a2)/2bc
三角形△的內角平分線的性質定理
AD為角A平分線與BC交點連線則AB/AC=BD/DC
海倫-秦九韶公式
p=(a+b+c)/2（公式里的p為半周長）
假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
已知三條中線求面積
方法一：已知三條中線Ma,Mb,Mc，
則S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 ；
方法二：已知三邊a，b，c ；
則S= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]；其中：p=(a+b+c)/2 ；
形狀判斷
b2+c2=a2 | cosA=0 | A=90° | 直角 | |
b2+c2<a2 | cosA<0 | A>90° | 鈍角 | |
b2+c2>a2 | cosA>0 | A<90° | 銳角 | ※a邊必須是最大邊 |
a2+b2=c2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。
勾股弦數是指一組能使勾股定理關係成立的三個正整數。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數。
常見的勾股弦數有：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；10，24，26等等。
解三角形
已知條件：一邊和兩角（如a、B、C,或a、A、B）
一般解法：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時，有一解。
已知條件：兩邊和夾角(如a、b、C）
一般解法：由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對的角，再由A+B+C=180°求出另一角，在有解時有一解。
已知條件：三邊（如a、b、c）
一般解法：由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180°，求出角C在有解時只有一解。
正弦定理（或餘弦定理）
已知條件：兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A）
一般解法：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再利用正弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無解。（或利用餘弦定理求出c邊，再求出其餘兩角B、C）①若a>b，則A>B有唯一解；②若b>a，且b>a>bsinA有兩解；③若a<bsinA則無解。
