等腰直角三角形

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質：穩定性，兩直角邊相等 直角邊夾一直角銳角45°，斜邊上中線角平分線垂線 三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，那么設內切圓的半徑r為1，則外接圓的半徑R就為√2+1，所以r:R=1:(√2+1)。

基本介紹

• 中文名：等腰直角三角形
• 外文名：Isosceles triangle
• 寫作：等腰Rt△
• 邊的個數：3
• 內角的個數：3
• 三內角的度數：90°、45°、45°
• 三內角和度數：180°
• 套用學科：數學

概念

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特點是：

（1）兩底角等於45°。

（2）兩腰相等。

（3）等腰直角三角形三邊比例為。

性質

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一個角是直角），也是特殊的直角三角形（兩條直角邊等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性質（如三線合一、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理等）。

當然，等腰直角三角形同樣具有一般三角形的性質，如正弦定理、餘弦定理、角平分線定理、中線定理等。等腰直角三角形三邊比例為。

判定

方法一：

根據定義，有一個角是直角的等腰三角形，或兩條邊相等的直角三角形是等腰直角三角形。

方法二：

三邊比例為的三角形是等腰直角三角形。

證明：勾股定理的逆定理可知該三角形是直角三角形，並且有兩條邊相等，滿足等腰直角三角形的定義。

方法三：

底角為45°的等腰三角形是等腰直角三角形。

證明：用三角形內角和定理求出角度分別為45°、45°、90°，滿足等腰直角三角形的定義。

方法四：

有一個銳角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

證明同方法三。

方法五：

直角邊和斜邊的比例為的直角三角形是等腰直角三角形。

證明：根據勾股定理求出另一條直角邊也是1，利用方法二判定。或根據反三角函式求出直角邊所對角為45°，利用方法四判定。

方法六：

有一個角是45°，並且這個角兩邊長度比為的三角形是等腰直角三角形。

證明：根據餘弦定理可求出第三邊長為1，利用方法二判定。

方法七：

有一個角是45°，並且這個角所對的邊和它的一條邊長度比為的三角形是等腰直角三角形。

證明：和方法六不同，如果長度為1的邊不是45°角的鄰邊而是對邊，則根據正弦定理求出長度為√2的邊所對角為90°，再利用方法四判定。

特殊類型

斜邊相等的直角三角形中，以等腰直角三角形的面積和周長最大。

解:首先證明面積最大的是它

將等腰Rt△ACB,任意Rt△AC'B都畫出外接圓,AB為圓的直徑。(其實這樣做是為了滿足斜邊AB相等,且是直角三角形).再做CF⊥AB,C'F⊥AB.(藍色輔助線)

由三線合一可知O和F重合，且易證OC>C'F'(根據垂徑定理和直徑是最長的弦得到)。

而CF是△ABC的高,C'F'是△ABC'的高,由面積公式可知等腰Rt△ABC面積最大。

其次解:證明周長最大的還是它

延長BC到E,使CE=CA.延長BC'到D,使C'D=C'A.連線DE,AD,AE.

∵AC'⊥BD,AC⊥BE

∴△AC'D,△ACE都是等腰直角三角形

∴∠AEB=∠ADB=45°

∵D,E線上段AB同側

∴ABED四點共圓

∵AC=BC=CE

∴∠EAB=90°(直角三角形斜邊中線定理逆定理)

∴∠EDB=90°

∴BE>BD

又∵EB=AC+CB. BD=AC'+C'B.

∴AC+CB>AC'+C'B.

∵Rt△ACB周長=AB+(AC+CB).

Rt△AC'B周長=AB+(AC'+C'B).

∴等腰Rt△ABC周長最大。