三線合一

三線合一，即在等腰三角形中（前提）頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不適用）。

基本介紹

• 中文名：等腰三角形三線合一定理
• 外文名：Isosceles triangle three lines one theorem
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學幾何
• 適用領域範圍：等腰三角形
• 等級劃分：國中幾何
• 內容：等腰三角形三線合一
• 前提：三角形是等腰三角形或等邊三角形
• 逆命題：成立

證明

已知：△ABC為等腰三角形，AB=AC,AD為中線。求證：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.

等腰三角形ABC(AB=AC)

在△ABD和△ACD中：

{ BD=DC（等腰三角形的中線平分對應的邊）

AB=AC(等腰三角形的性質)

AD=AD（公共邊）

∴△ADB≌△ADC（SSS）

可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形對應角相等）

∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已證），且∠BDC=180°（平角定義）

∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代換）

∴AD⊥BC

得證

套用

1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC

∴AD⊥BD,AD平分∠BAC

2.∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC

3.∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC

逆命題

① 如果三角形中有一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

② 如果三角形中有一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

③ 如果三角形中有一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形。

如圖，①AD⊥BC於D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中線

（1）若以①②為條件，求證AB=AC。理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD(ASA)

∴AB=AC

（2）若以②③為條件，求證AB=AC。理由如下：

∵AD是BC中線，

∴S△ABD=S△ACD，

作DE⊥AB於E，DF⊥AC於F，

又∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∴AB=AC（等底等高）

（3）若①③，求證AB=AC。理由如下：

∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC