基本介紹
- 中文名：正弦函式
- 外文名：sine function
- 套用學科：數學，物理，建築學等
- 漢語發音：zhèng xían zhí
定義,三角函式表,其他公式,常用函式數值,
定義
弦值是在直角三角形中,對邊的長比上斜邊的長的值。 任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等於它的餘角的正弦值。正弦sinθ也可以理解為頂角度數為θ的單位等腰三角形與單位等腰直角三角形的面積之比。
sin30°=1╱2 sin45°=√2╱2 sin60°=√3╱2 sin90°=1 sin180°=0 sin0°=0 sin270°=-1
三角函式表
θ → | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
函式值→ | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π |
sinθ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
tanθ | 0 | √3/3 | 1 | √3 | / | 0 | / | 0 |
cotθ | / | √3 | 1 | √3/3 | 0 | / | 0 | / |
註：在上面的表格中，例如：√3/2 指的是（√3）/2
sin30°=1╱2 sin45°=√2╱2 sin60°=√3╱2 sin90°=1 sin180°=0 sin0°=0 sin270°=-1
其他公式
三角函式 是必背的
Sin2A=2sinA·cosA
cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A）
同角三角函式的基本關係式
倒數關係: 商的關係： 平方關係：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
誘導公式
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
(其中k∈Z)
萬能公式
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan（α+β）=——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）=——————
1+tanα ·tanβ
2tan(α/2)
sinα=——————
1+tan2(α/2)
1－tan2(α/2)
cosα=——————
1+tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1－tan2(α/2)
二倍角的正弦、餘弦和正切公式 三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α
2tanα
tan2α=—————
1－tan2α
sin3α=3sinα－4sin3α
cos3α=4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α=——————
1－3tan2α
α+β α－β
sinα+sinβ=2sin—－－·cos—－—
2 2
α+β α－β
sinα－sinβ=2cos—－－·sin—－—
2 2
α+β α－β
cosα+cosβ=2cos—－－·cos—－—
2 2
α+β α－β
cosα－cosβ=－2sin—－－·sin—－—
2 2 1
sinα ·cosβ=-[sin（α+β）+sin（α－β）]
2
1
cosα ·sinβ=-[sin（α+β）－sin（α－β）]
2
1
cosα ·cosβ=-[cos（α+β）+cos（α－β）]
2
1
sinα ·sinβ=－ -[cos（α+β）－cos（α－β）]
2
常用函式數值
α=0°(0)
sinα=0
cosα=1
tαnα=0
cotα→∞
secα=1
cscα→∞α=15°(π/12)
sinα=(√6-√2)/4
cosα=(√6+√2)/4
tαnα=2-√3
cotα=2+√3
secα=√6-√2
cscα=√6+√2
α=22.5°(π/8）
sinα=√(2-√2)/2
cosα=√(2+√2)/2
tαnα=√2-1
cotα=√2+1
secα=√(4-2√2)
cscα=√(4+2√2)α=30°(π/6)
sinα=1/2
cosα=√3/2
tαnα=√3/3
cotα=√3
secα=2√3/3
cscα=2α=45°(π/4)
sinα=√2/2
cosα=√2/2
tαnα=1
cotα=1
secα=√2
cscα=√2α=60°(π/3)
sinα=√3/2
cosα=1/2
tαnα=√3
cotα=√3/3
secα=2
cscα=2√3/3α=67.5°(3π/8)
sinα=√(2+√2)/2
cosα=√(2-√2)/2
tαnα=√2+1
cotα=√2-1
secα=√(4+2√2)
cscα=√(4-2√2)α=75°(5π/12)
sinα=(√6+√2)/4
cosα=(√6-√2)/4
tαnα=2+√3
cotα=2-√3
secα=√6+√2
cscα=√6-√2α=90°(π/2)
sinα=1
cosα=0
tαnα→∞
cotα=0
secα→∞
cscα=1α=180°(π)
sinα=0
cosα=-1
tαnα=0
cotα→∞
secα=-1
cscα→∞α=270°(3π/2)
sinα=-1
cosα=0
tαnα→∞
cotα=0
secα→∞
cscα=-1α=360°(2π)
sinα=0
cosα=1
tαnα=0
cotα→∞
secα=1
cscα→∞
