角平分線定理

角平分線定理1是描述角平分線上的點到角兩邊距離定量關係的定理，也可看作是角平分線的性質。

角平分線定理2是將角平分線放到三角形中研究得出的線段等比例關係的定理，由它以及相關公式還可以推導出三角形內角平分線長與各線段間的定量關係。

基本介紹

• 中文名：角平分線定理
• 外文名：The theorem of angle bisector
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學

定理定義

從一個角的頂點引出的把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的角平分線。

三角形的一個角（內角）的角平分線交其對邊的點所連成的線段，叫做這個三角形的一條角平分線。

定理1

角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。

證明：如圖，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線

定理1證明圖

∴∠BAD=∠CAD

∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分別為B、C

∴∠ABD=∠ACD=90°

又 AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴CD=BD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

逆定理：在角的內部到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上。

證明：如圖，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC

∵DB⊥AB，

∴∠DBA=90

同理∴∠DCA=90

在RT△DBA和RT△DCA中，

{DB=DC(已知）

AD=AD（公共邊）

∴RT△DBA≌RT△DCA（HL）

∴∠BAD=∠CAD（全等三角形對應角相等）

定理2

三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。
證明：如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線

過點D作DE⊥AB，DF⊥AC

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC

定理2證明圖

∴DE=DF(定理1)

∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF

∴S△ABD：S△ACD=AB：AC

過點A作AG⊥BC，垂足為G

∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG

∴S△ABD:S△ACD=BD:CD

∴AB:AC=BD:CD

故原命題得證。

該命題有逆定理：

如果三角形一邊上的某個點與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應成比例，那么該點與對角頂點的連線是三角形的一條角平分線。

證明略。

角平分線長

由定理2和斯台沃特定理可以推導出三角形內的角平分線長公式。

如右圖，在△ABC中，AD平分∠BAC

可設AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，則BC=u+v

由定理2我們知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy

由斯台沃特定理，有w²=(x²v+y²u)/(u+v)-uv

用u=xv/y,v=uy/x替換原式中的u和v

即得AD²=xy-uv=AB×AC-BD×DC

驗證推導

已知，如圖，AM為△ABC的角平分線，求證:

面積法

由三角形面積公式，得

S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM

面積法圖

S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

∴sin∠BAM=sin∠CAM

∴S△ABM:S△ACM=AB:AC

根據：等高底共線，面積比=底長比

可得：S△ABM:S△ACM=MB:MC，則AB:AC=MB:MC

相似法

過C作CN∥AB，交AM的延長線於N

∵CN∥AB

相似法圖

∴∠ABC=∠BCN

又 ∠AMB=∠CMN

∴△ABM∽△NCM

∴AB:NC=BM:CM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAN=∠CAN

又 ∠BAN=∠ANC

∴∠CAN=∠ANC

∴AC=CN

∴AB:AC=MB:MC

（過M作MN∥AB交AC於N也可證明）

正弦定理法

作△ABC的外接圓，AM交圓於D

由正弦定理，得

正弦定理法圖

AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,

AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM

∵AM是∠BAC的角平分線

∴∠BAM=∠CAM

又∠AMB+∠AMC=180°

∴sin∠BAM=sin∠CAM

sin∠AMB=sin∠AMC

∴AB:AC=MB:MC

套用例子

三角形內外角平分線性質定理：三角形的內外角平分線內、外分對邊與其延長線所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應成比例。