角平分線長公式

角平分線長公式描述了三角形內角平分線長與各線段間的定量關係。

基本介紹

• 中文名：角平分線長公式
• 學科領域：平面幾何

第一形式

公式

在△ABC中，∠A的角平分線記為 ，∠B的角平分線記為 ，∠C的角平分線記為 ，三邊邊長為a、b、c，則

其中p是半周長。

推導過程

證明。法一。如圖，我們先證明 。

由角平分線定理可得 ，並注意到 ，消去 ，化簡得 。

由余弦定理， ，

把 和 的表達式代入（1）中，

即

設 ，那么上式可以寫成

於是

其他角平分線長度同理可證。

證畢。

提要。法二。運用斯特瓦爾特定理，可得證明。

第二形式

公式

三角形ABC的角平分線為AD，D在CB上。則

推導過程

證明。如圖，延長AC到E，使CE=CD，連線DE，則AE=AC+CD， 。在AB邊上取點F，使BF=BD，連線DF，則AF=AB－BD，∠BDF=∠BFD。則

即

又

則

於是 ，便有 ，故

又

由角平分線定理得

即

代入①中得

證畢。

第三形式

公式

△ABC中，角平分線

推導過程

證明。如圖，設AB、AC、AD長a、b、f。易知

即

於是

證畢。

外角平分線長公式

公式

下面不加證明地給出公式。在△ABC中，∠A的外角平分線記為 ，∠B的角平分線記為 ，∠C的角平分線記為 ，三邊邊長為a、b、c，則