斯特瓦爾特(Stewart)定理:設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D,則有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。該定理是由Stewart提出的。
基本介紹
- 中文名:斯特瓦爾特定理
- 外文名:Stewart Theorem
- 別稱:斯台瓦特定理,斯庫頓定理
- 表達式:AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD
- 提出者:Stewart
- 套用學科:數學
- 適用領域範圍:平面幾何學
定理定義,驗證推導,證法一,證法二,定理推廣,常見套用,
定理定義
設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D,則有:
AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
驗證推導
證法一
已知:如圖2-6所示,在△ABC中,點D是線段BC上的一點,連線AD。
求證:AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
證明:如圖2-6所示,作AH⊥BC於H。為了明確起見,設H和C在點D的同側。
由廣勾股定理有:
AC2=AD2+DC2-2DC·DH······(1)
斯特瓦爾特定理
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AB2=AD2+BD2+2BD·DH······(2)
用BD乘(1)式兩邊得:
AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD······(3)
用DC乘(2)式兩邊得:
AB2·DC=AD2·DC+BD2·DC+2BD·DH·DC······(4)
由 (3)+(4) 得到:
AC2·BD+AB2·DC
=AD2·(BD+DC)+DC2·BD+BD2·DC
=AD2·BC+BD·DC·BC
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD
證法二
已知:如圖2-6所示,在△ABC中,點D是線段BC上的一點,連線AD。
求證:AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
證明:
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根據餘弦定理得:
AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA······(1)
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠CDA······(2)
用CD乘(1)式兩邊得:
AB2·CD=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘(4)式兩邊得:
AC2·BD=CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由 (3)+(4) 得到:
AB2·CD+AC2·BD
=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD2·CD+CD2·BD)+(AD2·CD+AD2·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD2·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD2·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD2·CD
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
斯特瓦爾特定理的逆定理成立。
定理推廣
斯特瓦爾特定理還有如下推論:
在△ABC中,點D是線段BC上的一點,連線AD。
(1)若AB=AC,則AD2=AB2-BD·DC;
(2)若AD為BC中線,則AD2=1/2(AB2+AC2)-1/4BC2 (即中線定理);
(3)若AD為∠BAC內角平分線,則AD2=AB·AC﹣BD·DC (即角平分線長公式);
(4)若AD為∠BAC外角平分線,則AD2=﹣AB·AC+BD·DC;
(5)若BD/BC=λ,則AD2=λ·(λ﹣1)·BC2+(1﹣λ)·AB2+λ·AC2。
常見套用
①用於得到線段倍份關係;
②用於求解三角形問題(選擇適當的三角形及其邊上的點;靈活運用推論)。
③其在等腰三角形中的推廣,可用於求解與圓有關的問題(與圓的冪,切線長定理等相結合)。