《流形上的調和形式》是依託江蘇理工學院，由朱鵬擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：流形上的調和形式
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：朱鵬
- 依託單位：江蘇理工學院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
流形上的調和形式是研究流形的幾何與拓撲性質的重要工具。我們擬從如下三個方面開展研究：四維殆複流形上的J-反變上同調群、完備流形上L^2調和形式、奇數維辛流形上的上同調群。擬研究如下問題：(1) 四維閉辛流形上在最一般情形下的Donaldson問題和Donaldson型Calabi-Yau方程解的存在性；(2) 完備辛流形上L^2調和形式的精細Kato不等式以及球面中完備非緊子流形的消滅定理和L^2調和1-形式所構成空間的維數的有限性；(3) 五維切觸流形上基本Laplace運算元的特性，特別是關於J-反變基本2-形式構成的集合的刻畫和J-反變基本上同調群維數的穩定性等；切觸流形的基本上同調群的分解；建立緊五維K-切觸流形上的廣義Calabi-Yau方程並探討其解的存在性。
結題摘要
本項目藉助於流形上的調和形式主要研究了四維殆複流形上的J-反變上同調群、完備流形上L^2調和形式構成空間的維數、奇數維辛流形上的同調群等。 我們計算了四維環面上的J反變上同調群的維數，受此啟發得到了四維閉辛流形（M，ω）上，幾乎所有的ω-相容的近復結構J，有J反變上同調群的維數為零。運用該結果可以得到Donaldson問題在 b^+=1 時是正確的。 我們證實如果L^p泛函在相同的近Hermite類里有一個臨界點或一個穩定點，那么單浸入是J-全純曲線；具有hard Lefschetz性質的閉的2n維辛拋物流形上，其歐拉數與（-1）^n的乘積是非負的。上述結果推動了Donaldson型Calabi-Yau方程解的存在性的研究。歐氏空間中具有有限全曲率的完備非緊超曲面，其約化L^2上同調空間的維數是有限的。n+1維（n大於等於2）歐氏空間的完備極小超曲面，如果全曲率充分小，我們得到只有平凡的L^2調和 2-形式。外圍空間是球面時，我們也得到類似的結果。球面中完備非緊超曲面，如果第二基本形式的長度或者無跡全曲率充分小，我們仍然得到消滅定理。shrinking gradient solitons在適當的條件下，Lf指標有僅與第一Betti數有關的下界。 5維K-contact流形(M,ξ, η,Φ, g)2階基本上同調群的分解，並得到Φ-不變和Φ-反變上同調群是純且滿的。得到的復化2階基本上同調群的分解結果是Draghici等人關於近複流形(M,J)的2階上同調群J-不變和J-反變子群純且滿問題的推廣，這推動了切觸流形上廣義Calabi-Yau方程的建立和方程解的探討。
