霍奇分解定理

霍奇分解定理是一個由數學家霍奇提出的關於微分p形式空間問題的定理,是微分p形式空間可以分解為其被運算元作用的像集與調和p形式空間的直和的定理。

基本介紹

  • 中文名:霍奇分解定理
  • 外文名:Hodge decomposition theorem
  • 提出者:霍奇
  • 適用範圍:數理科學
簡介,調和p形式,黎曼流形,

簡介

霍奇分解定理是微分p形式空間可以分解為其被運算元作用的像集與調和p形式空間的直和的定理。
設M是n維定向的緊黎曼流形,對每個整數p(0≤p≤n),H是有限維的,且M的光滑p形式空間E(M)有如下正交直和分解
因此,方程△ω=α有一解。ω∈E(M)的充分必要條件是,p形式α與調和p形式的空間正交,即當α∈(H)時,△ω=α有惟一解ω∈E(M)。

調和p形式

調和p形式是經拉普拉斯-貝爾特拉米運算元作用為零的微分p形式。
其中△為M上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元,H中所有元素均稱為調和p形式。

黎曼流形

黎曼流形是一黎曼度量的微分流形
設M是n維光滑流形,若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g,稱(M,g)為一個n維黎曼流形,g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量,如果滿足:
1.g是對稱的,即:g(X,Y)=g(Y,X) (X,Y∈TpM,p∈M);
2.g是正定的,即:g(X,X)≥0 (X∈TpM,p∈M),且等號僅在X=0時成立。
簡單地說,黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。

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