《現代微分幾何》是2015年8月電子工業出版社出版的圖書，作者是孫和軍、趙培標。
基本介紹
- 書名：現代微分幾何
- 作者：孫和軍、趙培標
- 出版社：電子工業出版社
- 出版時間：2015年8月
- 頁數：224 頁
- 定價：39 元
- 開本：16 開
- ISBN：9787121262722
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書是“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”。本書針對理工科學生的特點和人才培養的需要編寫，體現內容的完備性、易懂性、套用性、實踐性、文化性和前沿性。全書共6章，主要內容包括：曲線與曲面論，張量代數和外形式，微分流形，切向量場、單參數變換群與切叢，張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡，流形上的積分、微分運算元和德拉姆上同調。本書提供配套電子課件、MATLAB程式代碼等。
圖書目錄
目 錄
第1章 曲線與曲面論 1
1.1 度量空間與歐氏空間 2
1.1.1 度量空間 2
1.1.2 向量空間 4
1.1.3 仿射空間 6
1.1.4 歐氏空間 6
1.1.5 等距變換 7
1.2 三維歐氏空間中的向量代數和向量分析 7
1.2.1 三維歐氏空間中的向量及其運算 8
1.2.2 向量函式和向量分析 8
附錄1.2 笛卡兒生平及學術貢獻 10
1.3 曲線論概述 12
1.3.1 曲線的表示 12
1.3.2 空間曲線的基本三棱形 14
1.3.3 曲線的曲率、撓率和費雷內公式 16
附錄1.3 歐拉生平及學術貢獻 19
1.4 曲面論概述 21
1.4.1 曲面的表示 21
1.4.2 曲面的定向 24
1.4.3 曲面的第一基本形式 26
1.4.4 曲面的第二基本形式 28
1.4.5 曲面的曲率 30
附錄1.4 高斯生平及學術貢獻 34
1.5 基於MATLAB的幾何圖形繪製和數值計算 36
1.5.1 MATLAB用戶環境介紹 36
1.5.2 基於MATLAB的平面曲線繪製 37
1.5.3 基於MATLAB的空間曲線繪製 38
1.5.4 基於MATLAB的曲面繪製 39
1.5.5 基於MATLAB的微分幾何數值計算 44
習題1 45
第2章 張量代數和外形式 46
2.1 對偶空間與多重線性函式 46
2.1.1 對偶空間 46
2.1.2 多重線性函式 48
2.2 張量與張量代數 49
2.2.1 張量及其表示 49
2.2.2 張量積和張量代數 50
2.2.3 張量的縮並運算 53
2.2.4 度量張量、指標的提升和下降 54
2.3 對稱張量和反對稱張量 55
2.3.1 對稱與反對稱張量 55
2.3.2 對稱化與反對稱化運算元 57
2.4 外形式與外代數 59
2.4.1 外形式 59
2.4.2 外積 60
2.4.3 外形式空間和外代數 62
2.4.4 外形式的性質 63
附錄2.4 嘉當生平及學術貢獻 65
習題2 67
第3章 微分流形 68
3.1 拓撲學基本概念 69
3.1.1 拓撲空間 69
3.1.2 拓撲空間的子集 70
3.1.3 拓撲空間的映射 71
3.1.4 拓撲不變性 72
3.2 微分流形 74
3.2.1 拓撲流形 74
3.2.2 微分流形 75
3.2.3 微分流形的例子 76
附錄3.2 黎曼生平及學術貢獻 79
3.3 光滑映射和微分同胚 81
3.3.1 流形間的光滑映射 81
3.3.2 微分同胚 82
附錄3.3 惠特尼生平及學術貢獻 84
3.4 切向量與餘切向量 85
3.4.1 切向量與切空間 85
3.4.2 餘切向量和餘切空間 89
3.4.3 誘導切映射和誘導餘切映射 90
3.5 子流形和帶邊流形 92
3.5.1 浸入與嵌入 92
3.5.2 開子流形和閉子流形 95
3.5.3 嵌入定理 96
3.5.4 帶邊流形和閉流形 97
附錄3.5 納什生平及學術貢獻 97
習題3 99
第4章 切向量場、單參數變換群與切叢 102
4.1 切向量場和泊松括弧積 102
4.1.1 切向量場 103
4.1.2 李代數與泊松括弧積 104
4.1.3 微分流形上的對合分布 107
4.1.4 誘導切映射與泊松括弧積運算的可交換性 109
4.2 單參數變換群和李導數 109
4.2.1 單參數變換群 110
4.2.2 單參數變換群的誘導光滑切向量場 110
4.2.3 李導數 112
4.3 向量叢和切叢 113
4.3.1 向量叢 113
4.3.2 切叢和餘切叢 115
附錄4.3 陳省身生平及學術貢獻 118
習題4 121
第5章 張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡 122
5.1 光滑張量場 123
5.1.1 光滑張量場 123
5.1.2 張量場的李導數 125
5.2 單位分解定理、黎曼流形和偽黎曼流形 126
5.2.1 單位分解定理 126
5.2.2 黎曼流形 126
5.2.3 偽黎曼流形 128
附錄5.2 愛因斯坦、廣義相對論與黎曼幾何 130
5.3 外微分式及外微分 132
5.3.1 外微分式 132
5.3.2 外微分 133
5.3.3 流形間光滑映射的誘導映射 138
5.4 仿射聯絡和列維-齊維塔聯絡 141
5.4.1 仿射聯絡和仿射聯絡空間 141
5.4.2 撓率張量和撓率形式 143
5.4.3 列維-齊維塔聯絡 145
5.4.4 協變微分 147
附錄5.4 列維-齊維塔生平及學術貢獻 150
5.5 黎曼曲率和結構方程 151
5.5.1 平行移動和測地線 151
5.5.2 仿射聯絡的曲率張量和曲率形式 152
5.5.4 黎曼流形的結構方程 157
5.5.5 里奇曲率和數量曲率 159
5.5.6 愛因斯坦流形和卡拉比-丘流形 160
習題5 161
第6章 流形上的積分、微分運算元和德拉姆上同調 164
6.1 流形的定向、流形上的積分和斯托克斯定理 165
6.1.1 流形的定向 165
6.1.2 光滑流形上的積分 167
6.1.3 黎曼流形上的積分 169
6.1.4 斯托克斯定理 170
6.2 黎曼流形上的微分運算元 174
6.2.1 霍奇星運算元 175
6.2.2 散度運算元和梯度運算元 176
6.2.3 余微分運算元 179
6.3 霍奇-德拉姆運算元、拉普拉斯-貝爾特拉米運算元及其特徵值 182
6.3.1 霍奇-德拉姆運算元和拉普拉斯-貝爾特拉米運算元 183
6.3.2 拉普拉斯運算元的特徵值 187
附錄6.3 貝爾特拉米生平及學術貢獻 190
6.4 德拉姆上同調和霍奇分解定理 192
6.4.1 德拉姆上同調 192
6.4.2 霍奇分解定理及其套用 193
6.4.3 龐加萊對偶定理 195
附錄6.4 德拉姆生平及學術貢獻 197
習題6 199
名詞索引 201
人名索引 208
參考文獻 213
