第二基本形式

第二基本形式

微分幾何中,第二基本形式(second fundamental form)是三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式,通常記作 II。與第一基本形式一起,他們可定義曲面的外部不變數,主曲率。更一般地,若在黎曼流形中一個光滑超曲面上選取了一個光滑單位法向量場,則可定義這樣一個二形式。

基本介紹

  • 中文名:第二基本形式
  • 外文名:second fundamental form
  • 套用學科:微分幾何
  • 記作: II
  • 套用領域:數學
  • 相關術語:第一基本形式
  • 定義:三維歐幾里得空間中一個光滑曲面的切叢上一個二次形式,通常記作 II
在曲面中,引論,經典記號,現代記法,黎曼流形中,相關條目,

在曲面中

引論

R中一個參數曲面S的第二基本形式由高斯引入。最先假設曲面是兩次連續可微函式的像,z=f(x,y),且平面z= 0 與曲面在原點相切。則f以及關於xy偏導數在 (0,0) 皆為零。從而f在 (0,0) 處的泰勒展開以二次項開始:
高階項,則在 (x,y) 坐標中在原點處的第二基本形式是二次型:
S上一個光滑點p,總可以選取坐標系使得坐標的z-平面與S切於p,然後可以相同的方式定義第二基本形式。

經典記號

一個一般參數曲面的第二基本形式定義如下。設r=r(u,v) 是R中一個正則參數曲面,這裡r是兩個變數的光滑向量值函式。通常記r關於uv的偏導數為rurv。參數化的正則性意味著rurvr的定義域中任何 (u,v) 是線性無關的。等價地,叉積ru×rv是曲面的一個非零法向量。參數化這樣就定義了一個單位法向量場n
第二基本形式通常寫成
在基 {ru,rv} 下的矩陣是
在參數化uv-平面上一個給定點處係數L,M,Nr在那個點的二次偏導數到S的法線上投影給出,利用點積可計算如下:

現代記法

一個通常曲面S的第二基本形式定義如下:設r=r(u,u) 是R中一個正則參數曲面,這裡r是兩個變數的光滑向量值函式。通常記r關於u的偏導數為rα,α = 1,2。參數化的正則性意味著r1r2r的定義域上是線性無關的,從而在每一點張成S的切空間。等價地,叉積r1×r2是曲面的一個非零法向量。這樣參數化定義了一個單位法向量場n
第二基本形式通常寫作
上式使用了愛因斯坦求和約定
在參數 (u,u)-曲面給定點處係數bαβr的二次偏導數到S的法線的投影給出,利用點積可寫成:

黎曼流形中

歐幾里得空間中,第二基本形式由
給出,這裡
高斯映射,而
微分視為一個向量值微分形式,括弧表示歐幾里得空間的度量張量
更一般地,在一個黎曼流形上,第二基本形式是描述一個超曲面形運算元(記作S)的等價方法,
這裡
表示周圍空間的共變導數,n超曲面上一個法向量場。如果仿射聯絡是無撓的,則第二基本形式是對稱的。
第二基本形式的符號取決於n的方向的選取。(這稱為曲面的余定向,對歐幾里得空間中的曲面,等價於給定曲面的一個定向)。
推廣為任意余維數
第二基本形式可以推廣到任意余維數。在這種情形下,它是切空間上取值於法叢的一個二次型,可以定義為
這裡
表示共變導數
到法叢的正交投影。
在歐幾里得空間中,子流形的曲率張量可以描述為下列公式:
這叫做高斯方程,可以視為高斯絕妙定理的推廣。在一個標準正交基中第二基本形式的本徵值,是曲面的主曲率。一組正交規範本徵向量稱為主方向
對一般的黎曼流形必須添加周圍空間的曲率;如果N是嵌入黎曼流形(M,g) 中一個流形,則N在誘導度量下的曲率張量
可以用第二基本形式與M的曲率張量
表示出來:

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