基本介紹
- 中文名:正交投影
- 外文名:Orthogonal projection
- 又稱:平行投影
- 釋義:投影線垂直於投影面的投影
- 學科:數學
定義,簡單例子,基本性質,正交投影,例子,斜投影,在賦范向量空間上的投影,參見,
定義
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![](/img/4/feb/72e85c594b776c860be428290721.jpg)
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![](/img/2/b41/67bbb39260095dee6c2c34e28fa2.jpg)
簡單例子
在現實生活中,陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿著同一個方向(比如說垂直於地面的角度)照射而來,大地是嚴格的平面,那么,對於任意一個物體(比如說一隻正在飛行的鳥),它的位置可以用向量(x,y,z)來表示,而這隻鳥在陽光下對應著一個影子,也就是(x,y,0)。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量(x,y,z)到映射到向量(x,y,0)。這是在x-y平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為
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![](/img/7/0b2/112d31c66bb770f82c21fc317b83.jpg)
另外,
![](/img/1/d15/a9778e62569843253dff83f13931.jpg)
基本性質
這裡假定投影所在的向量空間V是有限維的(因此不需要考慮如投影的連續性之類的問題)。假設子空間U與W分別為P的像空間與零空間(也叫做核)。那么按照定義,有如下的基本性質:
圖1.變換T是沿著k方向到直線m上的投影
![圖1.變換T是沿著k方向到直線m上的投影 圖1.變換T是沿著k方向到直線m上的投影](/img/6/707/nBnauUTYxkTZwkjYmNTMyEDMyMjZ1EDMiJ2MllDZjdzYjNTYkRWZyYWYkF2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
P在像空間U上是恆等變換:
。
![](/img/0/d79/c803266d949de0e687838465ffa3.jpg)
整個向量空間可以分解成子空間U與W的直和:
。也就是說,空間裡的每一個向量
,都可以以唯一的方式寫成兩個向量
與
的和:
,並且滿足
、
。事實上,每一個向量
都可以寫成
。
顯然在像空間中,而另一方面
,所以
在零空間中。
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![](/img/7/4ae/cd9e2fd27a450da3c26bf3e508a4.jpg)
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![](/img/8/6d6/880520eb29cf5f55058131511d4d.jpg)
![](/img/5/a65/b80e266a665bb1e6604598414b79.jpg)
![](/img/d/5b3/2d4703168efc7f273ed4047675a4.jpg)
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![](/img/f/b85/3067fa7f2c3e93c64a9cdf7ab127.jpg)
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![](/img/8/c7e/3b3fb7cd13b675beba0af2567f1e.jpg)
![](/img/e/d54/0241eea603da7d90291e44837af6.jpg)
用抽象代數的術語來說,投影P是冪等的線性變換。因此它的極小多項式是
。因式分解後可以看到,這個多項式只有相異的單根(沒有多重根),因此P是可對角化矩陣。極小多項式也顯示出了投影的特性:像空間與零空間分別是是對應於特徵值1和0的特徵空間,並給出了整個空間的一個直和分解。
![](/img/4/2df/c49b46795d28f8a85ca25039aaa7.jpg)
正如日常生活中陽光沿著一定的方向將影子投射到地面上,一般的投影變換也可以稱為是沿著W到U上的投影。由於向量空間分解成直和的方式一般不是唯一的(陽光可以順著不同的方向照射),給定一個子空間V(地面),一般的說有很多到V的投影(沿不同的W)。
正交投影
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![](/img/6/f3f/6e0ce93a2cde092fecc22de6de8e.jpg)
![](/img/5/e28/4f3b331ea436901aae7a7d8246e1.jpg)
![](/img/a/974/1c3e21f3f6512936414d8ac043a9.jpg)
![](/img/9/212/fea06c3b91c132494b730e4e3054.jpg)
例子
正交投影的最簡單的情況是到(過原點)直線上的正交投影。如果u是這條直線的單位方向向量,則投影給出為
![](/img/c/8c4/3dd475a8a0c2b5722f84238d6c92.jpg)
這個公式可以推廣至到在任意維的子空間上的正交投影。設u1,…,uk是子空間U的一組正交基,並設A為一個n×k的矩陣,它的列向量是u1,…,uk。那么投影:
![](/img/f/438/0fa73b87d9b5b8e3423b52d48dee.jpg)
正交條件也可以去除。如果u1,…,uk是(不必須正交)基,而A是有這些向量作為列的矩陣,則投影是
![](/img/8/044/28e3766c0a96e887b3690bd5d13a.jpg)
所有這些公式對於複數內積空間也成立,假如用共軛轉置替代轉置。
斜投影
術語斜投影有時用來提及非正交投影。這些投影也用來在二維繪圖中表示空間圖形(參見斜投影),儘管不如正交投影常用。
斜投影用它們的值域和零空間來定義。有給定值域和零空間的投影的矩陣表示的公式可如下這樣找到。設向量u1, …,uk形成了投影的值域的基,並把這些向量組合到n×k矩陣A中。值域和零空間是互補空間,所以零空間有維度n−k。它推出零空間的正交補有維度k。設v1, …,vk形成這個投影的零空間的正交補的基,並把這些向量組合到矩陣B中。則投影定義為
![](/img/e/b94/fde0ff8b2d751cf470352654d885.jpg)
這個表達式一般化上面給出的正交投影公式。
在賦范向量空間上的投影
假定X是巴拿赫空間,給定的X的直和分解成補子空間仍指定一個投影,反之亦然。如果X是直和X=U⊕V,則定義自P(u+v)=u的運算元仍是有值域U和核V的投影。明顯的也P=P。反過來說,如果P是在X上的投影,就是說P=P,則很容易驗證(I−P)=(I−P)。換句話說,(I−P)也是投影。關係I=P+(I−P)蘊涵了X是直和Ran(P)⊕Ran(I−P)。
但是相對於有限維情況,投影一般不必須是連續的。如果X的子空間U在規範拓撲下不閉合,則到U上的投影是不連續的。換句話說,連續投影P的值域一定是閉合子空間。進一步的,連續投影(事實上,一般的連續線性運算元)的核是閉合的。所以連續投影P把X分解成兩個互補的閉合子空間:X=Ran(P)⊕Ker(P)=Ran(P)⊕Ran(I−P)。
反命題在有額外假定條件下也成立。假設U是X的閉合子空間。如果存在一個閉合子空間V使得X=U⊕V,則有值域U和核V的投影P是連續的。這是從閉合圖定理推出的。假定xn→x而Pxn→y。需要證明Px=y。因為U是閉合的且{Pxn}⊂U,y位於U中,就是說Py=y。還有xn−Pxn=(I−P)xn→x−y。因為V是閉合的且{(I−P)xn}⊂V,我們有了x−y∈V,就是說P(x−y)=Px−Py=Px−y=0,這證明了這個斷言。