任意投影

任意投影(arbitrary projection)是指角度變形、面積變形和長度變形同時存在的一種投影。

地圖投影的一類。長度、面積和角度都有變形，是既不等角又不等積的投影。這種投影圖雖然各方面都有變形，但是它的面積，角度等誤差都較小。特別是在套用部分變形不大，適合於繪製各種無特殊要求的地圖，如教學地圖。在任意投影中，有一種較為特殊：等距離投影。字面上看該投影無長度變形，事實上只是在標準線上距離不變。

基本介紹

• 中文名：任意投影
• 外文名：arbitrary projection
• 領域：測繪學
• 性質：地圖投影
• 特點：長度、角度、面積都有變形
• 相關：等角投影、等積投影

概念

任意投影是既不等角又不等積的投影。在這種投影圖上長度變形、面積變形和角度變形同時存在。在任意投影中有一種比較常見的等距投影。它是在某些特定方向上沒有長度變形。例如在經緯線投影后為正交的投影中，沿經線方向長度沒有變形，即m=1(m——經線長度比)，或是在圖上從中心向外沿半徑方向長度沒有變形。等距投影的面積變形小於等角投影，角度變形小於等積投影。任意投影多用於要求面積變形不大，角度變形也不大的地圖。如一般參考用圖和教學用圖。

地圖投影

按照一定的數學法則將地球橢球面上的經緯線轉移到平面上的方法。也就是使地球橢球面上各點的地理坐標與平面上各點的直角坐標(或極坐標)保持一定的函式關係。地球橢球面是曲面，而地圖是繪製在平面上，因此製圖時首先要把曲面展為平面。然而地球橢球面是個不可展的曲面，假如把它直接展為平面，必然發生破裂或褶皺，用這種具有破裂或褶皺的平面繪製地圖，顯然是不實用的。所以必須採用數學方法將曲面展為平面，以保持平面上圖形的完整和連續。地圖投影方法很多，但不論採用什麼投影方法所得到的經緯線網形狀都不可能與地球橢球面上的經緯線網形狀完全相似。這表明投影之後地圖上的經緯線網發生了變形，因而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地理事物也必然隨之產生變形。變形主要表現在三個方面： 長度變形、面積變形和角度變形。變形是不可避免的，但若給予一定的條件，如等角條件，等積條件，則可使其中某種變形等於零，用以滿足不同用途對地圖投影的要求。按變形性質地圖投影可分為三類： 等角投影、等積投影和任意投影(包括等距投影)。

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把地球橢球面直接透視到平面上，或透視到可展為平面的曲面上，如圓柱面和圓錐面。這樣就得到具有幾何意義的方位、圓柱和圓錐投影。隨著科學的發展，為了使地圖上變形儘量減小，或者為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影逐漸跳出了原來藉助幾何面構成投影的框子，而產生了一系列按照數學條件構成的投影。按照構成方法可以把地圖投影分為兩大類： 幾何投影和非幾何投影。幾何投影是把地球橢球面上的經緯線投影到幾何面上，然後將幾何面展為平面而成的。根據幾何面的形狀可以分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。非幾何投影是不藉助於幾何面，根據某些條件用數學解析法確定地球橢球面與平面之間點與點的函式關係。在這類投影中，一般按經緯線形狀又分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影。

等角投影

投影面上某點的任意兩方向線夾角與地球橢球面上相應線段的夾角相等。即角度變形等於零。為了保持等角條件，必須使經緯線正交，某點上經線長度比與緯線長度比相等，即θ=90°，m=n。θ——經緯線交角，m——經線長度比，n——緯線長度比。在這類投影圖上，小範圍內圖上圖形與實地相似，故又稱為正形投影。其長度比在一點上不隨方向的改變而改變，但在不同地點，長度比數量是不同的，因此從大範圍來說，圖上圖形與實地並不相似。由於這類投影沒有角度變形，多用於編制對方向精度要求高的航海圖、航空圖、洋流圖、風向圖和軍用地圖等。

等角投影具有以下特點：①沒有角度變形，即圖上每一點的任意兩條方向線的夾角都等於實地相應方向線之間的夾角(ω=0)，所以經緯線處處正交；②圖上任意點的各個方向長度變形值相等，不同點的長度變形則不同；③所有的變形橢圓都是正圓；④面積變形通常較大。等角投影適用於交通圖、洋流圖、風向圖等。

等積投影

屬地圖投影。地圖上的任何圖形面積與實地上相應的圖形面積保持大小不變。使用這類投影的地圖便於進行面積比較。多用於經濟地圖和政區地圖。

地圖上任一圖形面積與實地上相應的面積相等。即面積變形等於零。為了保持等積條件，需使面積比等於1。常見的等積條件形式有：①P= mnsinθ=1(P為面積比，m為經線長度比，n為緯線長度比，θ為經緯線投影后的夾角)；②P=ab=1(a為某點上最大長度比，b為某點上最小長度比)。在等積投影的不同點上，由於最大長度比不斷增大，最小長度比不斷縮小，因而形狀變化比較大，角度變形也比較大。由於這類投影沒有面積變形，故有利於在地圖上進行面積對比。一般常用於繪製對面積精度要求高的自然地圖和經濟地圖。