不變子空間

不變子空間亦稱穩定子空間，又稱平凡子空間，與線性變換有關的一種子空間。設σ是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，若對W中的任意一個向量α，σ(α)也屬於W，則稱W是σ的不變子空間或稱σ子空間。σ的值域與核以及σ的特徵子空間等都是σ的不變子空間，有限維的複線性空間的所有的線性變換都有一維不變子空間，有限維實線性空間的線性變換都有一維或二維不變子空間，特別地，奇數維的實線性空間的每一個線性變換都有一維的不變子空間。

基本介紹

• 中文名：不變子空間
• 外文名：Invariant subspace
• 別名：穩定子空間、平凡子空間
• 特點：與線性變換有關的一種子空間

定義

設 是數域P上線性空間V的線性變換，W是V的子空間，若W中的向量在 下的象仍在W中，即 ，均有 ，則稱W為 的不變子空間，也可簡稱 -子空間。

設 是線性空間V的線性變換，W是 的不變子空間，可把 看成是W的一個線性變換，稱為 在不變子空間W上引起的變換，用符號 表示。

設 ， ，W是 的不變子空間，取W的基 ，將其擴充為V的一組基 ，則 在此基下的矩陣為 ，且左上角的k階塊 就是 在W的基 下的矩陣；反之，若 在基 下的矩陣為 ，則 是 的不變子空間。

V能分解成若干個 一子空間的直和 的充分必要條件是V中存在一組基 ，其中 為 的一組基，使得 在此基下的矩陣為準對角矩陣 ，其中 是 在基 下的矩陣。

定理

設線性變換 的特徵多項式 ，則V可分解成不變子空間的直和

證明思路： 令 記 。

1)證明 ；

2)證明 ；

3)證明 是直和，從而 也是直和；

4)證明 。

例題

例1 設 ， ， 在基 下的矩陣為

求 的含 的最小不變子空間W，並寫出 在W的相應基下的矩陣。

證明 由於 ，那么

因W是含 的 一子空間， ，那么 ，因此, ，從而有 ，所以

另外，由 知， ，

因此 也是 一子空間，所以 ，

由 也可知， 在W的基 下的矩陣為

例2 設V是複數域上的n維線性空間， ， ， 。證明：

1)若 是 的一特徵值，則特徵子空間 是 -子空間；

2) ， 至少有一個公共的特徵向量。

證明 1) ，任給 ，那么

因此 ，所以 是 -子空間。

2)由1)知 是 -子空間，則 是 的一個線性變換，其特徵多項式必有復根 (即 的特征值)，設相應的特徵向量為 ∈ ，那么

所以 就是 的公共特徵向量。