高等代數（下）

《高等代數（下）》是電子科技大學提供的慕課課程，授課教師是 何軍華 、 黃廷祝 、 文春 、 李永彬 、 李彭曦。

基本介紹

• 中文名：高等代數（下）
• 類別：慕課
• 提供院校：電子科技大學
• 授課老師： 何軍華 、 黃廷祝 、 文春 、 李永彬 、 李彭曦

課程簡介

“高等代數(下)”是數學類專業的核心基礎課程。“高等代數(下)”的授課內容包括 “線性變換，Jordan標準形與λ-矩陣，歐氏空間，二次型與雙線性函式”。

課程大綱

第六章 線性變換

6.1 線性映射

6.1.1 線性映射的概念

6.1.2 線船蜜背性映射的性質

6.1.3 線性映射的矩陣表示

6.1.4 線性映射的運算 

6.2 線性映射的像與核

    6.2.1 像與核的概念和性質

    6.2.2 線性同構

    6.2.3 核與像的計算

    6.2.4 核與像的維數關係

6.3 線性變換

    6.3.1 定義與性質

    6.3.2 可逆線性變換

    6.3.3 線性變換的運算和矩陣

    6.3.4 核與像的維數關係

6.4 特徵值與特徵向量

    6.4.1 方陣與線性變換的特徵值

    6.4.2 特徵值與精蘭奔特徵向量的判定

    6.4.3 特徵值與特徵阿雅烏多向量的計算

    6.4.4 特徵多項式

    6.4.5 方陣的多項式, 逆與伴隨矩陣的特徵向量

    6.4.6 Hamilton-Cayley定理

6.5 相似對角化

    6.5.1 引例

    6.5.2 代數重數與幾何重數

    6.5.3 相似對角化的判定與計算(1)

    6.5.4 相似對角化的判定與計算(2)

    6.5.5 相似對角化的範例

    6.5.6 方陣方冪的計算

6.6 不變子空間

    6.6.1 A-不變子空間

    6.6.2 A-子空間分解

6.7 對偶空間

    6.7.1 對偶空間

    6.7.2 二重對偶

第八章 歐氏空間

8.1 內積與歐氏空間

8.1.1 定義與實例

8.1.2 Cauchy不等式

8.1.3 度量矩陣

8.2 標準正交基

    8.2.1 標準正交基

    8.2.2 Gram-Schmidt 正交化方法

    8.2.3 正交矩陣

    8.2.4 歐氏空間同構

8.3 正交變換與正交補

    8.3.1 正交變換

    8.3.2 正交補

    8.3.3 正交投影

    8.3.4 正交投影

8.4 實對稱矩陣的標準形

    8.4.1 實對稱矩陣

    8.4.2 對稱變換

    8.4.3 實對稱矩陣的正交對角化

第九章 二次型與雙線性函式

9.1 二次型

9.1.1 二次型的定義

9.1.2 可逆線性替換變換

9.2 標準形與規範形

    9.2.1 配方法

    9.2.2 規範形

9.3 正定二次型

    9.3.1 正交變換化二次型為標準形

    9.3.2 正定性概念與性質

    9.3.3 正定性判定(1)

    9.3.4 正定性判定(2)

    9.3.5 度量矩陣的正定項協愉性

    9.3.6 半正定, (半)負定與不定二次型盼和

9.4 雙線性函式

    9.4.1 雙線性函式雙線性函式雙線性函式

    9.4.2 非退化雙線性函式

    9.4.3 (反)對稱雙線性函式

第七章 Jordan標準形

7.1 最小多項式

7.1.1 最小多項式的概念和性質

7.1.2 最小多項式的計算

7.1.3 廣義特徵子空間分解

7.2 Jordan-Chevalley分解

    7.2.1 冪零與半單

    7.2.2 上三角化定理

    7.2.3 冪零判別定理

    7.2.4 中國剩餘定理

7.2.5 Jordan-Chevalley分解

7.3 循環不變子空間與Jordan-標準形

    7.3.1 循環不變子空間

7.4 λ-矩陣

    7.4.1 λ-矩企譽贈陣的定義與性質

    7.4.2 λ-矩陣的相抵標準形

    7.4.3 相抵標準形的唯一性

7.5 矩陣的相似性判定與有理標準形

    7.5.1 方陣的相似與λ-矩陣的相抵

    7.5.2 有理標準形

7.6 陵求辨勸初等因子與Jordan-標準形

    7.6.1 初等因子

    7.6.2 初等因子的計算

    7.6.3 Jordan標準形

7.6.4 Jordan標準形的計算

    7.6.5 Jordan標準形的套用

參考教材

黃廷祝, 何軍華, 李永彬 高等代數(第二版)，高等教育出版社, 2016

黃廷祝, 成孝予 線性代數與空間解析幾何(第五版), 高等教育出版社, 2018

9.1 二次型

9.1.1 二次型的定義

9.1.2 可逆線性替換變換

9.2 標準形與規範形

    9.2.1 配方法

    9.2.2 規範形

9.3 正定二次型

    9.3.1 正交變換化二次型為標準形

    9.3.2 正定性概念與性質

    9.3.3 正定性判定(1)

    9.3.4 正定性判定(2)

    9.3.5 度量矩陣的正定性

    9.3.6 半正定, (半)負定與不定二次型

9.4 雙線性函式

    9.4.1 雙線性函式雙線性函式雙線性函式

    9.4.2 非退化雙線性函式

    9.4.3 (反)對稱雙線性函式

第七章 Jordan標準形

7.1 最小多項式

7.1.1 最小多項式的概念和性質

7.1.2 最小多項式的計算

7.1.3 廣義特徵子空間分解

7.2 Jordan-Chevalley分解

    7.2.1 冪零與半單

    7.2.2 上三角化定理

    7.2.3 冪零判別定理

    7.2.4 中國剩餘定理

7.2.5 Jordan-Chevalley分解

7.3 循環不變子空間與Jordan-標準形

    7.3.1 循環不變子空間

7.4 λ-矩陣

    7.4.1 λ-矩陣的定義與性質

    7.4.2 λ-矩陣的相抵標準形

    7.4.3 相抵標準形的唯一性

7.5 矩陣的相似性判定與有理標準形

    7.5.1 方陣的相似與λ-矩陣的相抵

    7.5.2 有理標準形

7.6 初等因子與Jordan-標準形

    7.6.1 初等因子

    7.6.2 初等因子的計算

    7.6.3 Jordan標準形

7.6.4 Jordan標準形的計算

    7.6.5 Jordan標準形的套用

參考教材

黃廷祝, 何軍華, 李永彬 高等代數(第二版)，高等教育出版社, 2016

黃廷祝, 成孝予 線性代數與空間解析幾何(第五版), 高等教育出版社, 2018