不變子空間是在運算元作用下不變的子空間。運算元族的不變子空間全體稱為不變子空間格。
基本介紹
- 中文名：不變子空間格
- 外文名：invariant subspace lattice
- 適用範圍：數理科學
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簡介
不變子空間
不變子空間是在運算元作用下不變的子空間。
設T是線性空間X到X的線性運算元，L是X的線性子空間。如果TL⊂L，即對x∈L，Tx∈L，則稱L是T的不變子空間。當X是賦范線性空間，T是有界線性運算元時，T的不變子空間通常是指閉線性子空間。
定義
設
是一族有界線性運算元，的不變子空間是指對一切Aα都不變的閉線性子空間，其全體記為Lat。Lat關於集的交以及並的線性閉擴張運算封閉，是按包含關係為序的完全格。故運算元族的不變子空間全體稱為不變子空間格。
異於{0}和X的不變子空間稱為非平凡的不變子空間。
不變子空間問題
是否任何巴拿赫空間上的有界線性運算元都有非平凡不變子空間?這個問題就是著名的不變子空間問題。
除了很少幾種特殊的運算元類外（如希爾伯特空間上的正規運算元類），對於一般運算元的不變子空間的存在性，人們了解得極少。
直到1954年，阿龍扎揚(Aronszajn,N. )和史密斯(Smith,K.T.)才證明了巴拿赫空間上每個緊運算元都有非平凡不變子空間。
1973年，羅蒙諾索夫(Lomonosov,V.I.)利用紹德爾不動點定理對伯恩施坦-魯賓孫定理進行了較大推廣。由羅蒙諾索夫的結果可知，如果巴拿赫空間X上不等於恆等運算元的常數倍的有界線性運算元T與X上某個非零緊運算元K交換，即T≠λI，TK=KT，則T必有非平凡不變子空間。
1978年，布朗(Brown,S.)證明了每個次正規運算元都有非平凡不變子空間。
1984年，里得(Read,C.J.)舉出反例，表明存在無窮維空間l1上的有界線性運算元A，它沒有非平凡的不變子空間。但對於希爾伯特空間上的不變子空間問題至今尚未解決。
