指標理論（index theory）是疇數理論在T(G)不變泛函情形的變種形式。
基本介紹
- 中文名：指標理論
- 外文名：index theory
- 適用範圍：數理科學
簡介,規範指標,性質,
簡介
指標理論是疇數理論在T(G)不變泛函情形的變種形式。
設G是緊拓撲群，X是T(G)空間，∑={A⊂X|A是T(G)不變閉集}。若函式i:∑→Z+∪{+∞}滿足下述條件：
1、平凡性。i(A)=0⇔A=∅。
2、單調性。A,B∈∑，A⊂B⇒i(A)≤i(B)。
3、次可加性。∀A,B∈∑，i(A∪B)≤i(A)+i(B)。
4、超變性。若A∈∑，h=η(∙,1)，η:[0,1]×X→X是T(G)等變形變，則
。
5、連續性。若A∈∑，A緊，則存在A的某個閉鄰域N∈∑，使得i(N)=i(A)，則稱i為X上的一個T(G)指標。
規範指標
若指標i還具有性質：
6、規範性。∀p∈X。若[p]∩FixG=∅，則i([p])=1，其中[p]={Tgp|g∈G}，FixG={x∈X|Tgx=x,∀g∈G}，則稱指標i是規範的。
性質
若存在正整數d，使對X的dk維T(G)不變子空間Vdk(k=1,2,...)，只要Vdk∩FixG={0}，就有i(Vdk∩S1)=k，其中S1為X中的單位球面，則稱指標i具有d維數性質。
類似於疇數理論，有下述指標意義下的重數定理：設M是X中的不變閉子流形，f∈C1(M,R)滿足(P.S)條件，i是X上的T(G)指標，記∑n(M)={A∈∑|A⊂M,i(A)≥n}。令
若對某正整數n與p，有
則c是f的臨界值，且i(Kc)≥p。這時如果i是規範的，且Kc∩FixG=∅，則Kc中至少含有p條不同點的臨界點軌道。
最常用到的指標是G=Z2與G=S1時的情形。作為指標概念的推廣或變種，尚有偽指標、相對指標等多種概念。
