引理

引理

引理是為證明某個定理或解某個問題所要用到的命題。

引理和定理沒有嚴格的區分,如果論證某個命題時,還沒有直接根據,需要某些還沒有被證明的結論,把它提出來加以證明,就是所謂的構造引理。

基本介紹

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基本概念

引理(lemma)是數學中為了取得某個更好的結論而作為步驟被證明的命題,其意義並不在於自身被證明,而在於為達成最終目的作出貢獻。
一個引理可用於證明多個結論。數學中存在很多著名的引理,這些引理可能對很多問題的解決有幫助。例如歐幾里得引理烏雷松引理,德恩引理,法圖引理高斯引理中山引理龐加萊引理里斯引理佐恩引理等。

構造引理法

概念

什麼叫引理?引理就是在解決某些問題的過程中需要套用一些沒有被證明的結論。把它提出來以後必須加以證明,是正確的才能引用。而通過構造引理使問題得以解決的構造命題的方法叫作構造引理法

實例說明

解:這是一個複合函式,設
,由
解得
定義域
先構造兩個引理:
引理1:已知函式
,若
在區間(a,b)上是增函式,其值域(c,d),又函式
在(c,d)上也是增函式,那么複合函式
在(a,b)上是增函式。
證明:在(a,b)上任取
,使a<
<
<b,
在(a,b)上是增函式,
,即
,且
函式
在區間(c,d)上是增函式,
,即
故函式
在(a,b)上是增函式.
類似地可以證明如下引理:
引理2:已知函式
,若
在區間(a,b)上是減函式,其值域為(c,d),又函式
在區間(c,d)上是增函式,那么,複合函式
在區間(c,d)上是減函式。
由兩個引理可知:
當x∈(3,+∞)時,
為增函式,
也為增函式,所以(3,+∞)是
的單調增區間;
當x∈(-∞,1)時,
為減函式,而
為增函式,所以(一∞,1)是
的單調減區間。
註:設內層函式
,外層函式
,複合函式
,複合函式的單調性有四個引理,結論列表如下:
函式
單調狀況
內層函式
外層函式
複合函式

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