共變導數

共變導數（covariant derivative）是1993年公布的數學名詞。

基本介紹

• 中文名：共變導數
• 外文名：covariant derivative
• 所屬學科：微分幾何
• 公布時間：1993年
• 屬性：數學名詞

定義

定義1

對光滑流形M上光滑向量叢E，令Γ(E)為E的光滑截面。則共變導數為線性映射∇:Γ(E)→Γ(T*M⨂E)，滿足

∇(fσ)=df⨂σ+f∇σ，

其中f∈C(M)，σ∈Γ(E)。

定義2

設𝓗為ξ=π:E→M上的聯絡，且有聯絡映射κ。給定f:N→M，ξ沿f的截面X，u∈TN，則X對u的共變導數為∇_uX:=κX_*u∈E。

當N=M，f=1_M，∇稱為𝓗的共變導數運算元。

性質

∇等價地可以視為∇:Γ(E)⨂Γ(TM)→Γ(E)，即有

∇_Vσ:=∇σ(V)，V∈T_xM。

∇對V保持張量性，對σ保持ℝ線性。

若u∈T_pN，則∇_uX∈E_f(p)。故對U∈𝖃N，∇_UX為ξ沿f的截面，∇_UX(p):=∇_U(p)X。X為沿f平行，若且唯若對於∀U∈𝖃N，∇_UX=0。

∇_u(X+Y)=∇_uX+∇_uY。

∇_au+vX=a∇_uX+∇_vX，a∈ℝ。

∇_uhX=u(h)X(p)+h(p)∇_uX，h∈𝓕N。

若g:L→N，w∈TL，則∇_w(X∘g)=∇_g*ωX。

公布時間

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發布。

出處

《數學名詞》第一版。