外共變導數

在數學中，外共變導數（exterior covariant derivative），時或稱為共變外導數（covarian texterior derivative），是流形上的微積分（calculus on manifolds）中一個非常有用的概念，它可能將利用主聯絡的公式化簡。

基本介紹

• 中文名：外共變導數
• 外文名：exterior covariant derivative
• 所屬學科：微分幾何

簡介

外共變導數運算元d為A(M)上外導數運算元d在向量叢上的推廣。

定義

給定向量叢ξ=π:E→M的聯絡∇，則其外共變導數運算元為d:A_k(M,ξ)→A_k+1(M,ξ)的集，定義為

d(X)U=∇_UX，X∈A₀(M,ξ)=Γ(ξ)，U∈𝖃M，

(dω)(U₀,...,U_k)=∑_i=0(-1)∇_Ui(ω(U₀,...,U_i,...U_k))+∑_i<j(-1)ω([U_i,U_j],U₀,...,U_i,...,U_j,...U_k))，ω∈A_k(M,ξ)，k≥1，U_i∈𝖃M。

等價定義

設P→M是光滑流形M上一個主G叢。如果是P上一個張量性k-形式，則其外共變導數定義為：

這裡h表示到水平子空間的投影，由聯絡定義，其核為該纖維叢的全空間切叢的（鉛直子空間）。這裡是P上任何向量場。Dφ是P上一個張量性k+1形式。

不像通常的外導數的平方是0，我們有

這裡表示曲率形式。特別的 對平坦聯絡消沒。

聯絡

在數學，特別是微分幾何中，一個聯絡形式（connection form）是用活動標架與微分形式的語言處理聯絡數據的一種方式。

歷史上聯絡形式由埃利·嘉當在二十世紀上半葉引入，作為他活動標架方法的一部分，也是其主要促進因素之一。聯絡形式一般取決於標架的選取，從而不是一個張量性對象。在嘉當最初的工作之後，湧現出聯絡形式的各種推廣與重新解釋。特別地，在一個主叢上，一個主聯絡是將聯絡形式自然重新解釋為一個張量性對象。另一方面，聯絡形式作為定義在微分流形上的微分形式與在一個抽象的主叢上相比，有其優越性。從而，儘管它們不滿足張量性，聯絡形式依然被使用，因為利用它們計算相對簡單。在物理學中，聯絡形式在規範理論中通過規範共變微分也廣泛套用。

與向量叢的每個基相伴的聯絡形式是微分1-形式矩陣。聯絡形式沒有張量性因為在基變化下，聯絡形式的變換涉及到轉移函式的外微分，與列維-奇維塔聯絡的克里斯托費爾符號非常類似。一個聯絡形式的主要張量性不變數是其曲率形式。如果有將向量叢與切叢等價的一個焊接形式，則有另一個不變數：撓率形式。在許多情形，考慮有附加結構的向量叢上的聯絡形式：即帶有結構群的纖維叢。