曲率形式

微分幾何中，曲率形式（curvature form）描述了主叢上的聯絡的曲率。它可以看作是黎曼幾何中的曲率張量的替代或是推廣。

基本介紹

• 中文名：曲率形式
• 外文名：curvature form
• 所屬學科：微分幾何
• 定義：是特徵曲率張量的二次形式
• 相關術語：比安基恆等式

定義

定義1

曲率形式(curvature forms)是特徵曲率張量的二次形式。

令G為一個李群，記G的李代數為𝖌。設E→B為一個主G叢。令ω表示E上一個埃雷斯曼聯絡（它是一個E上的𝖌值1形式）。

那么聯絡𝓗的曲率形式就是E上的𝖌值2形式Ω，定義為Ω(b)(x,y)=-ω[X,Y](b)，b∈E，x,y∈T_bE，X,Y為E上水平向量場，滿足 X(b)=x，Y(b)=y。

定義2

等價定義為

其中H:T_uE→H_uE是由聯絡對應的分割。

由嘉當結構方程

這裡d表示標準外導數， 是李括弧。或者說

性質

曲率形式擁有與聯絡相同的E在結構群G的自然左作用下不變的性質：

設η:P×𝖌→P為平凡叢，Ω為P的取值於η的微分形式。可等同α∈A(P,η)與π₂∘α:𝖃P×...×𝖃P→𝖌，其中π₂:P×𝖌→𝖌為投影。

表示

向量叢上的曲率形式

若 是一個纖維叢，其結構群為G，我們可以在相伴的主G叢上重複同樣的定義。

若 是一個向量叢則我們可以把 看作是1形式的矩陣，則上面的公式取如下形式：

其中 是楔積。更準確地講，若 和 分別代表 和 的分量（所以每個 是一個通常的1形式而每個 是一個普通的2形式），則

例如，黎曼流形的切叢，我們有 作為結構群而 是在 中取值的2形式（給定標準正交基，可以視為反對稱矩陣）。在這種情況， 是曲率張量的一種替換表述，也就是在曲率張量的標準表示中，我們有

上式使用了黎曼曲率張量標準記號。

相關拓展

比安基恆等式

如果 是標架叢上的典範向量值1形式，聯絡形式 ω 的撓率是由結構方程定義的向量值2形式：

這裡D代表外共變導數。

第一比安基恆等式（對於標架叢的有撓率聯絡）取以下形式：

第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立，並有如下形式：