反對稱矩陣

設A為n維方陣，若有A'=-A，則稱矩陣A為反對稱矩陣。對於反對稱矩陣，它的主對角線上的元素全為零，而位於主對角線兩側對稱的元反號。反對稱矩陣具有很多良好的性質，如若A為反對稱矩陣，則A'，λA均為反對稱矩陣；若A,B均為反對稱矩陣，則A±B也為反對稱矩陣；設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣；奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。

基本介紹

• 中文名：反對稱矩陣
• 外文名：Skew-symmetric matrix
• 相關矩陣：對稱矩陣
• 類別：線性代數
• 特點：A(i,j)=-A(j,i)
• 套用領域：高等數學

定義

設 ，若其中元素滿足 ，則稱A是對稱矩陣；若其元素滿足 ，則稱A為反對稱矩陣。

若A是反對稱矩陣，則，當時，便有，即反對稱矩陣主對角線上的元全為零，而位於主對角線兩側對稱的元反號。

基本性質

性質1

設A,B為反對稱矩陣，則A±B仍為反對稱矩陣。

證明過程：

設A,B為反對稱矩陣，即有

則

至此，根據反對稱矩陣的定義可得，A±B為反對稱矩陣。

性質2

設A為反對稱矩陣，則 仍為反對稱矩陣。

證明過程：

設A為反對稱矩陣，即有

則有

至此，根據反對稱矩陣的定義可得， 仍為反對稱矩陣。

性質3

設A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，則AB-BA為對稱矩陣。

證明過程：

已知A為反對稱矩陣，B為對稱矩陣，即有

故有：

至此，根據反對稱矩陣的定義可得，AB-BA為對稱矩陣。

注意事項

（1）設A,B為反對稱矩陣，AB不一定是反對稱矩陣。

（2）設A為反對稱矩陣，若A的階數為奇數，則A的行列式為0；A的階數為偶數，則根據具體情況計算。

定理及其證明

定理1

奇數階反對稱矩陣的行列式必為0。

證明過程：

設A為反對稱矩陣，即有

設A為反對稱矩陣，即有

故有

當n為奇數時，就由，於是。

定理2

反對稱矩陣的特徵值是0或純虛數，並且對應於純虛數的特徵向量的實部和虛部形成的實向量等長且互相正交。

證明：

（1）設實反對稱矩陣A的特徵值，相應的特徵值向量，其中u，v是實向量。那么由得到

即

分別等置兩邊的實部和虛部得到

於是

因為（內積），所以上二式相加得到

又因為，所以

從而。類似地可以知道。因此

於是由推出a=0，從而。

（2）由（1）中可得，所以，即

於是

因為，所以。

此外。由以及可知，即u，v正交。