純虛數

在複數域中，負數-1的平方根記為i(即i²=-1)，稱為虛數或虛數單位。一個實數乘以i稱為純虛數，例如5i 就是一個純虛數。

基本介紹

• 中文名：純虛數
• 外文名：purely imaginary number
• 形式：z=bi(b≠0)
• 相關概念：虛數、實數、虛數的實部和虛部等

定義

形如的數叫作複數，其中是複數的實部，b是複數的虛部，全體複數組成的集合叫作複數集，用字母C表示。

複數，當b=0時，就是實數；當b≠0時，叫作虛數；當時．叫作純虛數。

把複數表示成的形式，叫作複數的代數形式。

幾何意義

從複數相等的定義我們知道，任何一個複數都可以用一個有序實數對(a，b)唯一確定，這樣我們可以用建立了直角坐標系的平面來表示複數。

建立了直角坐標系來表示複數的平面叫作複平面，x軸叫作實軸，y軸叫作虛軸，這樣，實軸上的點都表示實數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。

複數與複平面內的點及向量是一一對應的，複數的模表示複數對應的點到原點的距離。

判別

實數、虛數、純虛數的判別方法

學習了純虛數的定義以後，通過這類題來鞏固對純虛數的理解，請看例題．

例題:m為何實數時，複數是實數?虛數?純虛數?

分析：要明確什麼是複數的實部與虛部?何時它們有意義?何時它們為零或非零?從而由實數、虛數、純虛數分別對實部與虛部的要求進行討論。

解： 實部：。

虛部：。

當時，Z是實數；

當 且時，Z是虛數；

當或時，Z是純虛數。

說明：當時，實部無意義，在討論過程中應排除掉。

小結：對這類題可歸納為如下題型。

欲判別複數

可化為解代數方程或不等式。

在實部、虛部都有定義的前提下：

實數(對應點在實軸上)；；

虛數(對應點不在實軸上)：；

純虛數(對應點在虛軸上)：且;

對應點在原點：解方程組

對應點在實軸上方：解不等式

對應點在虛軸左側：解不等式；

對應點在複平面的第一象限內：解不等式組

其他情況類推．但應注意所討論的範圍必須在、的定義域內。