埃雷斯曼聯絡

微分幾何中，埃雷斯曼聯絡（Ehresmann connection）是套用於任意纖維叢的聯絡概念的一個版本。特別的是，它可以是非線性的，因為一般的纖維叢上沒有合適的線性的概念。 一般情況下，它適用於主叢這一類特殊的纖維叢，通過聯絡形式表述，在這種情況聯絡至少是在一個李群的作用下等變。埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾·埃雷斯曼命名，他第一次這種想法正式化。

基本介紹

• 中文名：埃雷斯曼聯絡
• 外文名：Ehresmann connection
• 所屬學科：纖維叢理論

定義

令π:P→M為主叢，其結構群為李群G，G的李代數為。則P的一個埃雷斯曼聯絡為E的一個值微分1形式ω∈𝖌⊗T*P，且滿足如下性質：

定義1

(1)正規化性質：ω限制在纖維G上為ω₀=-(dg)g；

(2)不變性質：R_g*ω=Ad(g)ω=gωg。

定義2

其中u為切向量u的垂直分量，l_b:G→P定義為l_b(g)=bg

簡介

微分幾何中經典的協變導數是一個線性微分運算元，它以協變的方式取向量叢中截面的方嚮導數，也能用來闡述在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿著向量V平行，如果∇Vs= 0。所以一個協變導數提供了兩個觀念：微分運算元以及各個方向上的平行。埃雷斯曼聯絡完全放棄了微分運算元，並用截面在各個方向平行的含義來公理化一個聯絡。精確一點講，埃雷斯曼聯絡將纖維叢中的切叢的某些子空間指定為“水平子空間”。如果ds(V)處於水平空間中，則截面s是在V方向上是水平的（也即平行的）。在這裡，我們把s視為從底空間M映射到向量叢E的函式s:M→E，且ds:TM→s*TE是向量的前推。水平空間組成TE的一個子向量叢。

如此一來直接的好處是它可以用於比向量叢一般得多的場合。特別是，它對於一般的纖維叢都是有定義的。而且，很多協變導數的特色得到了保留：平移，曲率和和樂。

然而此定義除了線性之外還失去了協變性。在經典協變導數中，協變性乃是導數的後驗特性。在構造過程中，要先指定“非協變”克氏記號的變換法則，才能給出符合協變的導數。對埃雷斯曼聯絡而言，可藉由引入作用在纖維叢里纖維上的李群，來強加一個推廣的協變原則。恰當的條件就是要求水平空間在某種意義下對應於群作用等變。

埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是它可以表達為一個微分形式，和聯絡形式的情況類似。若一個群作用在纖維上，並且聯絡等變，則該形式也是等變的。而且，該聯絡形式也允許用曲率形式來定義曲率。

抽象定義

令π:E→M為纖維叢。E上的聯絡由如下數據組成：

1. 對於每一點x∈E，給定E在x點的切空間向量子空間H_x⊂T_xE。H_x稱為x點的水平空間。
2. 隨著x的變化，H_x必須定義出一個E的切叢的光滑子叢。（特別是，H必須有常數維度。）
3. 令V= ker(dπ:TE→TM)為由所有沿著E的纖維方向的切向量組成的垂直叢。則H_x∩V_x= {0} 對於x∈E成立。
4. 任何E的切向量必須可以分解為水平和垂直分量:TE=H+V。（特別是，根據上面第3條，這是一個直和分解。）

用更加看似深奧的術語來講，滿足屬性1~4的這樣的一個對水平空間的設定，精確地對應於給定一個射叢JE→E的光滑截面。

等價的有，令Φ為到垂直叢V的投影。這可以由上述TE到水平和垂直分量的直和分解得到。則Φ滿足：

1. Φ= Φ
2. Φ:TE→V是一個叢的滿射。

反過來，若Φ是滿足1和2的向量叢映射，則H =kerΦ定義了上述的一個聯絡的結構。

相關概念

曲率

令Φ為一埃雷斯曼聯絡。則Φ的曲率為

其中[-,-]表示Φ ∈ Ω(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括弧。這樣R∈ Ω(E,TE)就是一個E上取值在TE中的2－形式，定義為

或者說

其中X=X_H+X_V代表到H和V分量的分解。從上式可以看出，曲率為0若且唯若水平子叢是弗羅貝尼烏斯可積的。這樣，曲率是否為0就是水平子叢能否構成纖維叢E→M的橫截面的可積性條件。

一個埃雷斯曼曲率也滿足比安基恆等式（Bianchi identity）的一個擴展版本：

其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω(E,TE)和R∈ Ω(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括弧。

水平提升

埃雷斯曼聯絡也給出了將曲線從基流形M提升到纖維叢E的總空間並且使得曲線的切向量為水平向量的方式。這些水平提升是其它版本的聯絡表述中的平行移動的直接對應。

精確來講，設 γ(t) 為M中穿過點P= γ(0) 的光滑曲線。令e∈E_P為P上的纖維中的一點。γ 穿過e的一個提升就是一條曲線，它位於E中，提升是水平的，當曲線的每個切向量位於TE的水平子叢中：

對π和Φ利用秩-零化度定理可以證明每個向量v∈ TPM有唯一的水平提升。特別是，γ的切向量場在拉回叢γE的總空間上產生一個水平向量場。利用皮卡定理，這個向量場是可積的。這樣，對於每個曲線γ和γ(0)的纖維上的一點e，對於足夠小的時間t總是存在唯一的穿過e的γ的水平提升。

完備性

埃雷斯曼聯絡允許曲線有局部水平提升。對於一個完備埃雷斯曼聯絡，曲線可以在整個定義域上水平提升。

和樂群

聯絡的平坦性局部對應於水平空間的弗羅貝尼烏斯可積性。在另一個極端，非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。