協變導數

一般概念

向量u的沿著向量v的共變導數(也寫作D)是一個定義第三個稱為

(也作D_vu)的向量的規則，它有如下面所述的導數的屬性。向量是一個幾何對象，和所選基(坐標系統)無關。固定一個坐標系之後，這個導數和向量基自身的變換規則相同(共變變換)，所以有這個名字。

在歐幾里得空間的情形，如果有一個標準正交坐標系，一般會用兩個相近的點的兩個向量的差來定義向量場的導數。

在這樣的系統中，平移其中一個向量到另一個的原點，保持和原來的向量平行。這樣得到的歐氏空間的共變導數可以取每個分量的導數。

但是在一般情況，我們必須把坐標系的變化考慮在內。在彎曲空間中，例如地球表面（作為一個球面），平移沒有嚴謹的定義，而和它相似的概念，平行移動，依賴於向量被平移的路徑。例如，在二維歐幾里得平面極坐標中，導數包含了額外的項用於表述坐標格點自身如何“轉動”。在其他的情況下，還有額外的項描述坐標格點如何擴張，收縮，扭轉，交織，等等。

極坐標中的曲線是一個二維歐氏空間中的極坐標中的曲線的一個例子。在曲線參數t的向量(比如說加速度，不在圖中)可以表達在坐標系

中，其中

和

是極坐標中的單位切向量，用作把一個向量分解為在輻向和切向分量的基底。稍後，極坐標的新基底會相對於第一套基底稍有轉動。基向量的共變導數（克里斯托費爾符號可以表達這個變化）。

另一個例子：向量e在球上位於赤道上的一點Q，方向朝北。假設我們首先沿著赤道平行移動該向量直到P（然後保持它和自己平行））著子午線把它拖到北極N然後（保持方向）繼續沿著另一條子午線移動它回到Q。然後我們注意到沿著封閉迴路平行移動的向量不會回到原來的向量;它會變成另外一個方向。這在歐氏空間不會發生，它發生的原因是球的曲面上的曲率。如果我們沿著無窮小閉曲面依次沿著兩個不同方向然後返回，我們會看到同樣的現象。向量的無窮小變化是曲率的一個測量。