基本介紹
- 中文名：向量叢映射
- 外文名：vector bundle map
- 領域：數學
- 定義：向量叢之間的映射
- 性質：流形切叢概念的推廣
- 空間：底空間、全空間
概念,向量叢,連續映射,同構,
概念
向量叢映射(vector bundle map)是向量叢之間的映射。設ξ和η均為向量叢：
f為連續映射，若下列圖表是交換的(即π(η)°f~=f°π(ξ))，並且f~把每一個纖維Eb(ξ)線性映射到Ef(b)(η)中)，則稱(f~，f)為向量叢ξ到η的叢態射。進而，若f~|Eb(ξ)：Eb(ξ)→Ef(b)(η)是同構，則稱(f~，f)為向量叢ξ到η的叢映射。它是將向量叢的底空間和全空間分別映射到另一向量叢的底空間、全空間的有良好的性質的一對映射。向量叢映射是研究向量叢的重要工具，正像運用可微映射研究微分流形的情形。特別地，若上述f為同胚映射，則ξ到η的叢映射(f~，f)稱為向量叢等價。
向量叢
1.對於b∈B，Eb=π(b)是n維(實)向量空間。
2.(局部平凡性)對於b∈B，存在b的鄰域U及同胚映射φ：π(U)→U×R，使得對於x∈U，φx=φ|Ex：Ex→{x}×R是向量空間的同構。
此時，B稱為向量叢ξ的底空間，記為B(ξ)，E稱為向量叢ξ的全空間，記為E(ξ)，Eb稱為b∈B處的纖維，π稱為叢射影.上述適合條件2的(U，φ)稱為ξ的叢卡.ξ的一族叢卡的集合：
若∪α∈ΛUα=B，則稱為圖冊。進而，設B是微分流形，對於ξ的圖冊Φ，若對任意α，β∈Λ，Uα∩Uβ≠∅，圖冊的轉換函式gαβ：Uα∩Uβ→GL(n，R)是可微的，其中gαβ(x)=φβx°φαx：R→R，x∈Uα∩Uβ，GL(n，R)為可逆n階方陣組成的(實)線性群，則稱為可微的。若圖冊Φ是ξ的極大的可微圖冊，則ξ=(E，π，B，Φ)稱為可微向量叢。此時，若B是m維微分流形，則ξ的全空間E是(n+m)維微分流形。流形的切叢、法叢、萬有叢等都是可微向量叢的常見例子。向量叢ξ=(E，π，B)也稱為B上的向量叢。
連續映射
設f為從拓撲空間E到拓撲空間F中的映射。稱f在E的點x0是連續的，如果對f(x0)在F中的任一鄰域W，在E中存在x0的鄰域V，使在f下V的象包含在W中；換言之，如果在f下f(x0)的任一鄰域的逆象是x0的鄰域。
稱f在E上是連續的(或簡稱f是連續的)，如果它在E的每一點都連續。
為使f是連續的，必須且只須F的任一閉集經由f的逆象是E的閉集，或F的任一開集經由f的逆象是E的開集。但是E的開集(閉集)經由連續映射的正象不一定是F的開集(閉集)。
從E到F中的常映射是連續的.E的恆等映射是連續的。
任一從離散空間到拓撲空間的映射是連續的。
設E，F及G為拓撲空間，f為從E到F中的連續映射，而g為從F到G中的連續映射，則複合映射g°f是連續的。
當E與F為分別賦以距離d及e的度量空間時，為使f在x0點連續，其充分必要條件是：對任一嚴格正的實數ε，存在嚴格正的實數η，使得由關係d(x，x0)≤η可推出e(f(x)，f(x0))≤ε.若f為定義在R的子集P上的有限數值函式，則使f在x0點連續的充分必要條件是：對任一嚴格正的實數ε，存在嚴格正的實數η，使得對P的任一元素x，關係|x-x0| ≤η蘊涵：|f(x)-f(x0)|≤ε。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
