截面(數學概念)

截面是纖維叢理論的一個概念。

基本介紹

• 中文名：截面
• 外文名：section
  cross section
• 所屬學科：纖維叢理論

拓撲空間定義

設π:M→N為連續映射，則π的截面為π的連續右逆，即連續映射σ:N→M滿足π∘σ=Id_N。

向量叢定義

設ξ=π:E→M為向量叢。則E的截面或整體截面為π的截面，即一個連續映射σ:M→E，滿足π∘σ=Id_M。故對M上一點p，σ(p)為纖維E_p的一個元。

設ξ=π:E→M為向量叢，則ξ沿f:N→M的截面為映射X:N→E，滿足π∘X=f。

範疇論定義

對於態射h:a→b，其截面為其右逆，即態射r:b→a，使得hr=1_b。

性質

若h存在截面，則h為滿態射。對於集範疇Set，逆命題成立。對於群範疇Grp，逆命題不成立。

相關概念

給定ξ上聯絡𝓗，則截面X若對所有p∈N滿足X_*T_pN⊂𝓗_X(p)，稱X為沿f平行。

E的局部截面為連續映射σ:U→E，滿足π∘σ=Id_U。

設M為光滑流形，E為光滑向量叢，則E的光滑截面為從其定義域到E的光滑映射。

整體截面ζ:M→E若滿足對M上任一點p，ζ(p)=0∈E_p，則稱ζ為零截面。

整體與局部的關係

M的開集U上的局部截面為限制叢E_U的整體截面。