光滑映射

光滑映射是微分幾何的一個概念。

基本介紹

• 中文名：光滑映射
• 外文名：smooth map
• 所屬學科：微分幾何

光滑函式

設U為n維歐幾里得空間ℝ的開集，f:U→ℝ稱為U上光滑函式，若f在U上有任意階連續偏導數。

定義

設M與N為光滑流形，U為M中開集。若對M,N的任意坐標映射x,y，f:U→N滿足y·f·x為歐幾里得空間的光滑函式，則稱f為光滑映射。

若A為M中任意子集，則f:A→N若能擴張為:U→N，其中U為M的開集，且A⊂U，則f稱為光滑映射。

性質

光滑映射之間的複合為光滑映射。

設U為ℝ的開集，F:U→ℝ為光滑函式。則對∀a∈U，存在a的鄰域W，與含0的區間I，與光滑映射ψ:I×W→U滿足

(1)ψ(0,u)=u

(2)Dψ(t,u)e₁=F∘ψ(t,u)

相關概念

設U為M的開集，f:U→N為光滑映射，則f在p∈U的階為線性映射f_*p:T_pM→T_f(p)N的階，即f_*(T_pM)的維數。

設f:M→N為光滑映射。若α∈A_k(N)，則α沿f的拉回為M的k形式f*α，定義為

(f*α)(p)(v₁,...,v_k)=α(f(p))(f_*v₁,...,f_*v_k)，p∈M，v_i∈T_pM。

當k=0時，即α為M的函式φ，則f*φ=φ∘f。

f*:A(N)→A(M)為代數同態。

df*=f*d。

f*誘導出線性變換f*:H(N)→N(M)。