子流形管狀鄰域(tubular neighborhood ofsubmanifold)是微分拓撲中的一個工具。利用管狀鄰域的存在性和橫截性定理，可以證明惠特尼定理：任何(無邊)緊緻微分流形微分同胚於歐氏空間中的解析子流形。
基本介紹
- 中文名：子流形管狀鄰域
- 外文名：tubular neighborhood ofsubmanifold
- 領域：數學
- 學科：微分拓撲
- 性質：微分拓撲中的一個工具
- 作用：證明惠特尼定理
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概念
子流形管狀鄰域(tubular neighborhood ofsubmanifold)是微分拓撲中的一個工具。設McN是微分流形N的子流形，M'是M上的向量叢，f:E->N是嵌入映射，則(f,M')稱為M在N中的管狀鄰域，若它適合：1. fcE是M在N中的開鄰域；2.當把M等同於睿的零截面的像(cE)時，f I M一 ZM。通常也稱f (M)是M在N中的管狀鄰域。當M,N是(無邊)微分流形時，則子流形M在N中必存在管狀鄰域，並且M在N中的任何兩個管狀鄰域是合痕的。利用管狀鄰域的存在性和橫截性定理，可以證明惠特尼定理：任何(無邊)緊緻微分流形微分同胚於歐氏空間中的解析子流形。
微分拓撲
全稱微分拓撲學。是拓撲學的一個重要的、十分活躍的分支學科。它以研究微分流形在微分同胚下的不變性質為特徵。一般地，微分拓撲學是研究微分流形及微分流形之間的可微映射的性質的學科。例如，它包含有下述一些典型的問題：
1.兩個微分流形在什麼條件下是微分同胚的?
2.若兩個微分流形是同胚的，則它們一定微分同胚嗎?
3.一個微分流形能嵌入或浸入到另一個微分流形中嗎?
4.怎樣的微分流形是另一個帶邊流形的邊界?
5.一個微分流形是否可平行化.
19世紀末，龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)在代數拓撲學方面做了一系列奠基工作的同時，對3維流形的拓撲進行了深入的分析，提出了著名的龐加萊猜想：每個單連通的緊緻、無邊的3維流形必同胚於3維球面S。這是微分拓撲學中非常重要的、迄今尚未完全解決的問題。
20世紀以來，外爾(Weyl，(C.H.)H.)、惠特尼(Whitney，H.)、米爾諾(Milnor，J.W.)、托姆(Thom，R.)、斯梅爾(Smale，S.)、吳文俊等學者在微分拓撲學的許多方面的工作，使得這門學科得以迅速發展，並且與其他拓撲學分支，尤其是代數拓撲學建立了深刻而有力的聯繫。同時，微分拓撲學理論和方法上的成果推動著諸如近代微分方程、微分幾何、大範圍分析等數學的各個領域的發展，顯示出它越來越重要的作用。
微分流形
設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地圖，如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋，Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα，Φα)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ，則稱Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐標變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。
從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，)，使得f(U)⊂V，同時，映射°f°Φ-1：Φ(U)→(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。
C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。
向量叢
向量叢是流形切叢概念的抽象和推廣，它是微分拓撲學和代數拓撲學的重要研究對象。設E，B是拓撲空間(B為T2空間)，π：E→B為連續滿映射.ξ=(E，π，B)稱為n維(實、拓撲)向量叢，若適合：
1.對於b∈B，Eb=π(b)是n維(實)向量空間.
2.(局部平凡性)對於b∈B，存在b的鄰域U及同胚映射φ：π(U)→U×R，使得對於x∈U，φx=φ|Ex：Ex→{x}×R是向量空間的同構。
此時，B稱為向量叢ξ的底空間，記為B(ξ)，E稱為向量叢ξ的全空間，記為E(ξ)，Eb稱為b∈B處的纖維，π稱為叢射影.上述適合條件2的(U，φ)稱為ξ的叢卡.ξ的一族叢卡的集合：
