截面的幾何性質

構件截面的幾何性質，如靜矩、形心、軸慣性矩、極慣性矩、慣性積和主慣性軸位置等，對構件承力性能產生影響，常被用於分析桿件的彎曲、扭轉和剪下等問題。

基本介紹

• 中文名：截面的幾何性質
• 外文名：Geometrical properties of cross section

靜矩

又稱面積矩或靜面矩。截面對某個軸的靜矩等於截面內各微面積乘微面積至該軸的距離在整個截面上的積分。如圖1所示，面積為A的截面對x、y坐標軸的靜矩分別為：

靜矩可能為正值，也可能為負值。它的量綱是長度的三次方。靜矩的力學意義是：如果截面上作用有均勻分布載荷，其值以單位面積上的量表示，則載荷對於某個軸的合力矩就等於分布載荷乘以該軸的靜矩。靜矩是求截面形心和計算截面內各點剪應力的必要數據。

圖1

形心

又稱面積中心或面積重心，是截面上具有如下性質的點：截面對通過此點任一個軸的靜矩等於零。如果將截面看成一均質等厚板，則截面的形心就是板面的重心。形心坐標x_o、y_o的計算公式為：

式中A為截面面積。如果截面有一個對稱軸，則形心必在對稱軸上，如截面有兩個對稱軸，則形心就是兩個對稱軸的交點。由n個截面組成的組合截面的形心可由下列公式求得：

式中A_i為第i個截面的面積；X_ci、Y_ci為該截面形心的坐標。形心的力學意義是：如果截面上作用有均勻分布的載荷，則合力作用點就是形心。

軸慣性矩

反映截面抗彎特性的一個量，簡稱慣性矩。截面對某個軸的軸慣性矩等於截面上各微面積乘微面積到軸的距離的平方在整個截面上的積分。圖1所示的面積為A的截面對x、y軸的軸慣性矩分別為：

軸慣性矩恆為正值，量綱為長度的四次方。構件的抗彎能力和軸慣性矩成正比。一些典型截面的軸慣性矩可從專業手冊中查到，如平行四邊形對中線的軸慣性矩為：

其中b為平行四邊形底邊寬度，h為高。如果軸作平行移動，例如由x₁平移到x₂，則移動前後的軸慣性矩I_x1和I_x2之間關係為：

式中a、b分別為形心至x₁、x₂軸的距離；A為截面面積。這個公式叫作軸慣性矩移軸公式。組合截面對某個軸的軸慣性矩，等於各個部分截面對該軸的軸慣性矩之和。

圖 2

極慣性炬

反映截面抗扭特性的一個量。截面對某個點的極慣性矩等於截面上各微面積乘微面積到該點距離的平方在整個截面上的積分。如圖2所示面積為A的截面對某點O的極慣性矩為：

極慣性矩恆為正值，量綱是長度的四次方。構件的抗扭能力和極慣性矩成正比。圓形截面對其圓心的極慣性矩為：

其中d為圓的直徑。截面對形心以外任一點的極慣性矩為：

式中r為所取點到形心的距離。因ρ=x+y，故I_ρ=I_x+I_y，即截面對任一點的極慣性矩等於它對過此點兩個正交坐標軸的軸慣性矩之和。計算軸在扭矩作用下的應力和變形時，常用到極慣性矩。

慣性積

截面對於兩個正交坐標軸的慣性積等於截面上各個微面積乘微面積到兩個坐標軸的距離在整個截面上的積分。面積為A的截面對兩個正交坐標軸x、y的慣性積為:

慣性積的量綱是長度的四次方。截面位於坐標系的一、三象限,I_xy為正，位於二、四象限則為負。若兩個坐標軸中有一個(或兩個)是截面的對稱軸，則截面對此坐標系的慣性積為零。如坐標軸繞原點都轉過角度α，則截面對新坐標系的慣性矩I_x1、I_y1和慣性積I_x1y1同原慣性矩I_x、I_y和慣性矩I_xy之同的關係為：

這些公式稱為慣性矩和慣性積轉軸公式。

主慣性軸

使截面慣性積為零的一對正交坐標軸稱為截面的主慣性軸，簡稱主軸。截面對主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。如果兩個主慣性軸的交點是形心，則此兩軸稱為形心主慣性軸(或主形心慣性軸)。截面對它們的慣性矩稱為形心主慣性矩(或主形心慣性矩)。如果截面有一個對稱軸，則此對稱軸是一個主慣性軸，另一個主慣性軸同它相垂直。已知一個截面對一對坐標軸(x軸和y軸)的慣性矩I_x、I_y和慣性積I_xy後，可按下式確定主慣性軸同x軸之間的夾角α :

截面的主慣性矩I_xo、I_yo也可由I_x、I_y及I_xy求得，即

在過截面上一個定點所有軸的軸慣性矩中，一個主慣性矩最大，另一個主慣性矩最小。任何一對正交軸的軸慣性矩之和為一常數，並等於兩個主慣性矩的和，即