狄拉克運算元

狄拉克運算元是微分幾何中的一種運算元。

基本介紹

• 中文名：狄拉克運算元
• 外文名：Dirac operator
• 所屬學科：微分幾何

定義

設X為黎曼流形，Cl(X)為其克利福德叢，S為左Cl(X)模叢。設S為黎曼的，則一階微分運算元D:Γ(S)→Γ(S)，定義為

Dσ=σ

於x∈X處，其中e₁,...e_n為T_x(X)的正交歸一基，為S的共變導數，·是克利福德模的乘法。

性質

給定餘切向量ξ∈T*_x(X)為

ξ=∑_kξ_kdx_k。

微分運算元D:Γ(E)→Γ(E)為

D=∑_|α|≤mA_α(x)∂/∂x。

則D的主象徵σ為對ξ給出線性映射σ_ξ(D):E_x→E_x

σ_ξ(D)=i∑_|α|=mA_α(x)ξ_α。

若對ξ≠0，σ_ξ(D)為同構，則D稱為橢球運算元。

相關定義

運算元D稱為狄拉克拉普拉斯運算元。