與柯西運算元和狄拉克運算元相關的邊值問題

《與柯西運算元和狄拉克運算元相關的邊值問題》是依託武漢大學，由杜金元擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：與柯西運算元和狄拉克運算元相關的邊值問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：杜金元
• 依託單位：武漢大學

項目摘要

本課題《與柯西運算元和狄拉克運算元相關的邊值問題》包括經典單複分析和Clifford分析兩個平台上的工作。在單複分析平台上，研究由Cauchy-Riemann運算元所決定的函式（解析函式、多解析函式、調和函式、多調和函式、亞解析函式等）的各類邊值問題以及相關的復奇異積分方程的理論和套用。在Clifford分析平台上，研究由Dirac運算元所決定的函式（正則函式、高階正則函式、超復調和函式、高階超復調和函式等）的各類邊值問題以及相關高維超復奇異積分方程的理論和套用。這兩個方面的研究相互影響和促進，互為犄角。前者的成果為後者研究提供導向和誘發推廣。由於研究平台的代數和解析結構有了蛻變，後者的工作成就回過來又可以從本質要點上洞悉到深化和精化前者相應結果的門徑，形成新的生長點。本課題研究內容對偏微和多復變以及物理學等一些分支有廣泛影響，理論上有深度，套用上有寬度。因此，本研究在國際上十分活躍。

結題摘要

本課題《與柯西運算元和狄拉克運算元相關的邊值問題》包括經典單複分析和Clifford分析兩個平台上的工作。在單複分析平台上，研究由Cauchy-Riemann運算元所決定的函式（解析函式、多解析函式、調和函式、多調和函式、亞解析函式等）的各類邊值問題以及相關的復奇異積分方程的理論和套用。在Clifford分析平台上，研究由Dirac運算元所決定的函式（正則函式、高階正則函式、超復調和函式、高階超復調和函式等）的各類邊值問題以及相關高維超復奇異積分方程的理論和套用。在這兩工作方向上，研究者們均做出了創新性的工作，不少工作具有原創性。兩個方向上的工作各具特點並有側重，又相互影響和促進, 形成了一個有機整體。 研究者們一方面運用單復變中經典解析函式邊值問題和奇異積分方程基本理論和成果為導向，尋求取值在Clifford分析上的正則函式的廣義正則函式的相應問題，大面積形成了高維平台上的成果。 另一方面，高維上的結果使得人們更能洞見經典問題中本質所在，回過來為拓廣和精化經典單復變中的結果提供啟示和靈感， 由於研究平台的代數和解析結構有了蛻變， 高維上的工作成就回過來可以從本質要點上洞悉到深化和精化前者相應結果的門徑，形成新的生長點，進而形成本質的推廣和深化，產生不少交叉性工作點和創新性成果。 例如, 刺激多解析函式以及多調和函式前者的成果為後者研究提供導向和誘發推廣。 本課題的成果能夠套用和影響到其它許多學科分支，如彈性力學、復偏微分方程、多複分析以及物理學方面的一些分支。因此,本課題的研究成果既具很好理論價值又具廣闊套用前景。