共形曲面的譜簇的漸近分析

《共形曲面的譜簇的漸近分析》是依託南京理工大學，由沈玉萍擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：共形曲面的譜簇的漸近分析
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：沈玉萍
• 依託單位：南京理工大學

項目摘要

本課題準備研究虧格大於或等於1的4維球面中的共形浸入曲面的譜簇，將4維球面中共形浸入曲面等價為曲面上的一個四元全純線叢，與其四元全純結構相關的帶有位勢的狄拉克型運算元族的Quillen行列式線叢平凡化可以得到曲面單值空間上一個全純的行列式函式。這個行列式函式在單值空間內定義的解析子簇將被證明為曲面共形浸入的特徵譜簇。我們將描述位勢不為零的狄拉克型運算元的譜簇，試圖證明它在單值趨近於無窮大時，漸近到位勢為零對應的真空譜。特別的，當曲面是虧格為1的環面且其共形浸入的譜簇是虧格有限的黎曼曲面時，擬利用代數幾何的技巧構造出原來的浸入映射。這將為證明著名的關於環面的Willmore猜想提供新的思路和可能性。

結題摘要

本項目主要研究虧格大於或等於1的緊黎曼曲面到4維球面中的共形浸入的譜簇。我們將4維球面中共形浸入曲面等價為曲面上的一個四元全純線叢，引入與其四元全純結構相關的帶有位勢的Dirac型運算元族。然後將此運算元族的Quillen行列式線叢的平凡化得到了曲面單值空間上一個全純的行列式函式，這個行列式函式的零點在單值空間內定義的解析子簇被證明恰為曲面共形浸入的特徵譜簇。對於虧格為1的環面情形，我們明確了位勢為零的Dirac型運算元對應的真空譜的形狀，並且完成了位勢不為零的Dirac型運算元對應的一般譜的精確的漸近分析。對於虧格大於1的緊黎曼曲面的共形浸入的譜簇，我們只給出了定性的分析。