廣義協變導數與平坦時空的協變形式不變性

《廣義協變導數與平坦時空的協變形式不變性》是2021年清華大學出版社出版的圖書，作者是殷雅俊。

基本介紹

• 書名：廣義協變導數與平坦時空的協變形式不變性
• 作者：殷雅俊
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2021年9月
• 定價：88 元
• ISBN：9787302587538

內容簡介

張量的微分學是不協變的，Ricci藉助協變性思想，將其發展成為協變的微分學。然而，協變微分學是非公理化的，本著作通過空間域上的協變形式不變性公設，將Ricci的經典協變微分學，擴展成了公理化的廣義協變微分學。類似地，張量的變分學是不協變的，本著作將其發展成協變的變分學，並藉助時間域上的協變形式不變性公設，將協變變分學發展成了公理化的廣義協變變分學。

圖書目錄

第1章導言

1.1關於平坦時空

1.2關於張量及其協變性

1.3關於張量的協變微分學

1.4博士生的“幼稚”提問

1.5前輩數學力學家的疑惑

1.6協變微分學的局限性

1.7協變形式不變性

1.8從協變微分學到協變變分學

上篇平坦空間中的協變微分學與廣義協變微分學

第2章自然標架與自然基矢量的Ricci變換

2.1自然坐標下矢徑微分中的不變性

2.2逆變基矢量

2.3度量張量分量

2.4基矢量的指標變換

2.5協變基矢量的坐標變換

2.6逆變基矢量的坐標變換

2.7度量張量的雜交分量

2.8統一的Ricci變換

2.9度量張量的兩點分量

2.10本章注釋

第3章分量與廣義分量的Ricci變換

3.1矢量的分解式

3.2矢量分解式中的廣義對偶不變性

3.3矢量分解式中的表觀形式不變性

3.4矢量的Ricci變換群

3.5張量分解式中的不變性與Ricci變換群

3.6廣義分量概念

3.7張量的雜交分量

3.8雜交廣義分量

3.9本章注釋

廣義協變導數與平坦時空的協變形式不變性

目錄

第4章分量的協變導數

4.1從矢量場的偏導數到矢量分量的協變導數

4.2從張量場的偏導數到張量分量的協變導數

4.3經典協變導數的協變性

4.4度量張量分量的普通偏導數和經典協變導數

4.5分量之積的協變導數定義式

4.6第一類組合模式與經典協變導數的代數結構

4.7第二類組合模式

4.8矢量分量的雜交協變導數

4.9張量雜交分量的協變導數

4.10度量張量的雜交分量的協變導數

4.11張量雜交分量之積的雜交協變導數

4.12經典協變導數中的結構模式

4.13經典協變導數的概念生成模式

4.14再看經典協變導數的協變性

4.15普通偏導數的非協變性

4.16指標概念的補充分類

4.17Christoffel符號的進一步分析

4.18雜交Christoffel符號的進一步分析

4.19再看雜交Christoffel符號下指標的非對稱性

4.20不易察覺的陷阱

4.21協變導數的代數結構再分析

4.22本章注釋

第5章廣義分量的廣義協變導數

5.1矢量分量協變導數的延拓

5.2張量分量協變導數的延拓

5.3協變形式不變性公設

5.4雜交廣義協變導數求導指標的變換關係

5.5廣義分量之積的廣義協變導數定義式

5.6第一類組合模式與Leibniz法則

5.7第二類組合模式

5.8矢量實體的廣義協變導數

5.9標量場函式的廣義協變導數

5.10張量實體的廣義協變導數

5.11度量張量行列式及其根式之廣義協變導數的定義式

5.12 廣義協變導數的代數結構

5.13協變微分學中的量系及其分類

5.14本章注釋

第6章廣義協變導數的微分不變性質

6.1廣義協變導數的基本微分不變性質

6.2協變微分不變式

6.3有潛在物理意義的協變微分不變式

6.4協變微分變換群

6.5協變微分變換群的諸等價形式

6.6度量張量的協變導數計算式

6.7廣義協變導數的協變性

6.8Eddington張量的協變導數計算式

6.9度量張量行列式及其根式的協變導數的計算式

6.10本徵協變微分不變式之值

6.11協變微分變換群下的協變微分不變數

6.12協變微分變換群下的推論與特例

6.13本章注釋

第7章廣義協變導數的積分不變性質

7.1協變微分變換群下的微分不變數回顧

7.2積分定理： 從直線坐標繫到曲線坐標系的推廣

7.3積分定理： 曲線坐標系下的極限逼近

7.4積分定理： 微分不變數之關聯的妙用

7.5“事後諸葛”式的追問

7.6梯度定理

7.7散度定理

7.8旋度定理

7.9Stokes定理(廣義環量定理)

7.10Green積分定理

7.11本章注釋

第8章高階廣義協變導數

8.10指標廣義分量的二階廣義協變導數

8.21指標廣義分量的二階廣義協變導數

8.32指標廣義分量的二階廣義協變導數

8.4平坦空間的對稱性

8.5二階的協變微分不變式

8.6二階的協變微分不變數與偏微分不變數之關係

8.7二階的協變微分不變數與基本微分不變數之關係

8.8三階的協變微分不變數與基本微分不變數之關係

8.9與二階不變數微分運算元對應的廣義Gauss積分定理

8.10物理學和力學中的二階不變數微分運算元

8.11與二階微分運算元對應的Green積分定理

8.12本章注釋

第9章平坦空間中的廣義協變微分

9.1場函式的Taylor級數展開與張量的經典微分概念

9.2矢量分量的經典協變微分

9.3張量分量的經典協變微分

9.4張量雜交分量的經典協變微分

9.5協變形式不變性公設

9.6廣義分量之廣義協變微分的公理化定義式

9.7廣義協變微分定義式中的基本組合模式

9.8廣義協變微分定義式中的第一類組合模式和Leibniz法則

9.9廣義協變微分定義式中的第二類組合模式

9.10矢量實體的廣義協變微分

9.11張量實體的廣義協變微分

9.12張量之積的廣義協變微分

9.13度量張量行列式之根式的廣義協變微分

9.14廣義協變微分的代數結構

9.15協變微分變換群

9.16度量張量的廣義協變微分之值

9.17廣義協變微分的協變性

9.18Eddington張量的廣義協變微分之值

9.19有趣的結果

9.20本章注釋

第10章協變微分學的結構

10.1上篇的脈絡

10.2協變微分學的基本圖式

10.3歷史的借鑑

10.4關於協變微分變換群的運動學含義

10.5關於變換群下的不變性

10.6關於Bourbaki學派的思想

10.7下篇展望

下篇平坦空間中的協變變分學和廣義協變變分學

第11章Euler描述下平坦空間本徵幾何量的物質導數

11.1Euler描述

11.2Euler基矢量的定義

11.3Euler描述下物質導數的定義

11.4物質點的速度與連續體上分布的速度場

11.5關於隱態函式的一般性命題

11.6物質點處Euler基矢量的物質導數

11.7物質點處度量張量分量的物質導數

11.8度量張量雜交分量的物質導數

11.9物質點處度量張量行列式及其根式的物質導數

11.10有關Euler基矢量的命題

11.11Christoffel符號的物質導數

11.12本章注釋

第12章Euler描述下分量對時間的狹義協變導數

12.1矢量分量對時間t的協變導數

12.2對時間t的協變導數與全導數之關係

12.3張量分量對時間的協變導數

12.4度量張量分量對時間參數的協變導數

12.5張量的雜交分量對時間的協變導數

12.6度量張量的雜交分量對時間參數的協變導數

12.7對時間的狹義協變導數與時間域上的聯絡概念

12.8本章注釋

第13章Euler描述下廣義分量對時間的廣義協變導數

13.1對稱性的破缺

13.2時間域上的協變形式不變性公設

13.31指標廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

13.42指標廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

13.5雜交廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

13.6廣義協變導數t(·)中的基本組合模式

13.7基本組合模式的統一表達式

13.8廣義協變導數t(·)中的第一類組合模式和代數結構

13.9廣義協變導數t(·)中的第二類組合模式

13.10實體量對時間的廣義協變導數

13.11度量張量行列式及其根式對時間的廣義協變導數

13.12時間域上的協變微分變換群

13.13協變微分變換群套用於度量張量分量

13.14變換群套用於Eddington張量

13.15變換群套用於度量張量行列式之根式

13.16與Euler基矢量相關的一般性命題

13.17對時間的廣義協變導數的協變性

13.18對稱性的修復

13.19有趣的現象

13.20Euler時空上的高階廣義協變導數

13.21本章注釋

第14章Euler描述下的廣義協變變分

14.1Euler描述下場函式對時間的Taylor級數展開

14.2矢量分量的狹義協變變分

14.3張量分量的狹義協變變分

14.4張量雜交分量的狹義協變變分

14.5協變形式不變性公設

14.6廣義分量之廣義協變變分的公理化定義式

14.7廣義協變變分中的基本組合模式

14.8廣義協變變分中的第一類組合模式和Leibniz法則

14.9廣義協變變分中的第二類組合模式

14.10矢量實體的廣義協變變分

14.11張量實體的廣義協變變分

14.12張量之積的廣義協變變分

14.13度量張量行列式之根式的廣義協變變分

14.14廣義協變變分的代數結構

14.15協變變分變換群

14.16度量張量的協變變分之值

14.17廣義協變變分的協變性

14.18Eddington張量的廣義協變變分之值

14.19度量張量行列式及其根式的廣義協變變分之值

14.20微分/變分運算順序的不可交換性

14.21Euler描述下的虛位移概念

14.22本章注釋

第15章Lagrange描述下空間本徵幾何量的物質導數

15.1Lagrange描述

15.2Lagrange描述下物質導數的定義

15.3物質點的速度與連續體上的速度場

15.4Lagrange基矢量的物質導數

15.5度量張量的Lagrange分量的物質導數

15.6度量張量的Lagrange雜交分量的物質導數

15.7度量張量行列式及其根式的物質導數

15.8Christoffel符號的物質導數

15.9奇特的“現象”

15.10本章注釋

第16章Lagrange描述下分量對時間的狹義協變導數

16.1矢量的Lagrange分量對時間t^的狹義協變導數

16.2張量的Lagrange分量對時間參數t^的狹義協變導數

16.3度量張量的Lagrange分量對時間參數t^的狹義協變導數

16.4張量的Lagrange雜交分量對時間t^的狹義協變導數

16.5度量張量的Lagrange雜交分量對時間t^的狹義協變導數

16.6贗分量

16.7贗廣義分量

16.8本章注釋

第17章Lagrange描述下廣義分量對時間的廣義協變導數

17.1對稱性的破缺

17.2Lagrange時間域上的協變形式不變性公設

17.31指標廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

17.42指標廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

17.5雜交廣義分量對時間的廣義協變導數定義式

17.6廣義協變導數t^(·)中的第一類組合模式與代數結構

17.7第二類組合模式

17.8實體量對時間的廣義協變導數

17.9度量張量行列式及其根式對時間的狹義協變導數

17.10動態Lagrange空間域上的廣義協變導數m^(·)

17.11時間域上的協變微分變換群

17.12協變微分變換群套用於度量張量

17.13協變微分變換群套用於度量張量的雜交分量

17.14協變微分變換群套用於Eddington張量

17.15協變微分變換群套用於g^

17.16與Lagrange基矢量相關的一般性命題

17.17廣義協變導數t^(·)的協變性

17.18對稱性的修復

17.19有趣的現象

17.20Lagrange時空上的高階廣義協變導數

17.21本章注釋

第18章Lagrange描述下的廣義協變變分

18.1Lagrange描述下場函式對時間的Taylor級數展開

18.2矢量的Lagrange分量的狹義協變變分

18.3張量的Lagrange分量的狹義協變變分

18.4張量的Lagrange雜交分量的狹義協變變分

18.5協變形式不變性公設

18.6Lagrange廣義分量的廣義協變變分及其公理化定義式

18.7廣義協變變分中的基本組合模式

18.8廣義協變變分中的第一類組合模式和Leibniz法則

18.9廣義協變變分中的第二類組合模式

18.10矢量實體的廣義協變變分

18.11張量實體的廣義協變變分

18.12張量之積的廣義協變變分

18.13度量張量行列式之根式的廣義協變變分

18.14廣義協變變分的代數結構

18.15協變變分變換群

18.16度量張量的廣義協變變分之值

18.17廣義協變變分的協變性

18.18Eddington張量的廣義協變變分之值

18.19度量張量行列式及其根式的廣義協變變分之值

18.20Lagrange描述下微分/變分運算順序的可交換性分析

18.21Lagrange描述下的虛位移概念

18.22本章注釋

第19章協變變分學的結構

19.1Euler空間域上的協變微分學圖式

19.2Euler時間域上的協變變分學圖式

19.3Lagrange空間域上的協變微分學圖式

19.4Lagrange時間域上的協變變分學圖式

19.5Euler時空與Lagrange時空的統一性

19.6局部化的觀點看張量的協變變分學

19.7從微分學的協變性到變分學的協變性

19.8再看協變性概念的生成模式

19.9後續發展展望

參考文獻

作者簡介

殷雅俊，清華大學航天航空學院工程力學系教授，博士生導師。1985年畢業於清華大學水電系，獲學士學位；1987年於清華大學工程力學系獲碩士學位，同年留校任教；1995年獲日本政府獎學金，赴日留學，1998於日本廣島大學獲博士學位。1993-94年獲荷蘭政府資助，作為Research Fellow在Delft大學從事合作研究。2000-01年受Japan Key Technology Center的邀請，作為海外研究員在IHI（日本石川島播磨重工業公司）基礎技術研究所從事合作研究工作。先後獲得國家級教學優秀成果一等獎1次、二等獎3次。2011年獲得北京市教學名師獎。近十五年來主攻以下研究方向並取得進展：（1）生物微納米力學與幾何；（2）生物分形幾何與力學；（3）昆蟲仿生力學；（4）張量分析與理性力學的公理化。在國內外刊物發表學術論文120篇。